Каковы коэффициенты квадратного трехчлена f(x), если a> 0, и при этом |f(1)|=|f(2)|=|f(3)|=4?

Фея

47

Для начала рассмотрим общий вид квадратного трехчлена \(f(x) = ax^2 + bx + c\), где \(a\), \(b\) и \(c\) - коэффициенты.
Так как нам известно, что \(|f(1)| = |f(2)| = |f(3)| = 4\), подставим эти значения в выражение для \(f(x)\), чтобы получить уравнения.

Подставляем \(x = 1\):
\[|f(1)| = |a(1)^2 + b(1) + c| = |a + b + c| = 4\]

Подставляем \(x = 2\):
\[|f(2)| = |a(2)^2 + b(2) + c| = |4a + 2b + c| = 4\]

Подставляем \(x = 3\):
\[|f(3)| = |a(3)^2 + b(3) + c| = |9a + 3b + c| = 4\]

Итак, у нас есть система уравнений:
\[\begin{cases} |a + b + c| = 4 \\ |4a + 2b + c| = 4 \\ |9a + 3b + c| = 4 \end{cases}\]

Теперь рассмотрим два случая: \(a > 0\) и \(a < 0\).

# Случай 1: \(a > 0\)

Если \(a > 0\), то все коэффициенты \(a\), \(b\) и \(c\) не равны нулю.
В этом случае обозначим без модуля уравнения для удобства:
\[\begin{cases} a + b + c = 4 \\ 4a + 2b + c = 4 \\ 9a + 3b + c = 4 \end{cases}\]

Мы можем решить эту систему уравнений методом вычитания или методом Крамера. Давайте применим метод Крамера.

Найдем определитель матрицы коэффициентов:
\[D = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 4 & 2 & 1 \\ 9 & 3 & 1 \end{vmatrix} = -6\]

Найдем определитель матрицы \(D_a\) (заменяем первый столбец на столбец свободных членов):
\[D_a = \begin{vmatrix} 4 & 1 & 1 \\ 4 & 2 & 1 \\ 4 & 3 & 1 \end{vmatrix} = 6\]

Найдем определитель матрицы \(D_b\) (заменяем второй столбец на столбец свободных членов):
\[D_b = \begin{vmatrix} 1 & 4 & 1 \\ 4 & 4 & 1 \\ 9 & 4 & 1 \end{vmatrix} = 6\]

Найдем определитель матрицы \(D_c\) (заменяем третий столбец на столбец свободных членов):
\[D_c = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 4 \\ 4 & 2 & 4 \\ 9 & 3 & 4 \end{vmatrix} = -6\]

Теперь мы можем найти значения коэффициентов \(a\), \(b\) и \(c\) с помощью формул Крамера:
\[a = \frac{D_a}{D} = \frac{6}{-6} = -1\]
\[b = \frac{D_b}{D} = \frac{6}{-6} = -1\]
\[c = \frac{D_c}{D} = \frac{-6}{-6} = 1\]

Таким образом, коэффициенты квадратного трехчлена \(f(x)\), при условии \(a > 0\) и \(|f(1)| = |f(2)| = |f(3)| = 4\), равны:
\[a = -1, b = -1, c = 1\]

# Случай 2: \(a < 0\)

Если \(a < 0\), то все коэффициенты \(a\), \(b\) и \(c\) также не равны нулю. В этом случае получаем систему уравнений без модуля:
\[\begin{cases} -a + b + c = 4 \\ -4a + 2b + c = 4 \\ -9a + 3b + c = 4 \end{cases}\]

Мы можем решить данную систему аналогично первому случаю. При решении получаем:
\[a = 1, b = 1, c = -1\]

Таким образом, в случае \(a < 0\) и \(|f(1)| = |f(2)| = |f(3)| = 4\) коэффициенты квадратного трехчлена \(f(x)\) равны:
\[a = 1, b = 1, c = -1\]

Вот два возможных варианта коэффициентов квадратного трехчлена \(f(x)\), удовлетворяющих заданным условиям.