Каковы координата частицы и модуль ее скорости, если она совершает гармонические колебания с законом х = 4 cos π/10t

Ogonek_6233

51

Для решения этой задачи нам понадобятся знания о гармонических колебаниях и формулах, связывающих координату и скорость частицы во время колебаний.

Формула для гармонических колебаний дана в задаче: \(x = 4 \cos(\frac{\pi}{10}t)\), где \(x\) - координата частицы, \(t\) - время.

Для начала, найдем координату частицы в момент времени \(t\). Для этого подставим значение времени \(t\) в формулу:

\(x = 4 \cos(\frac{\pi}{10}t)\)

Далее, для вычисления модуля скорости \(v\) воспользуемся производной от координаты по времени:

\(v = \frac{dx}{dt}\)

Возьмем производную от \(x\) по \(t\):

\(v = \frac{d}{dt} [4 \cos(\frac{\pi}{10}t)]\)

Для упрощения расчетов, применим правило дифференцирования для функции косинуса:

\(v = -\frac{4\pi}{10} \sin(\frac{\pi}{10}t)\)

Теперь мы получили выражение для модуля скорости \(v\) частицы в зависимости от времени \(t\).

Чтобы найти координату частицы и модуль ее скорости в конкретный момент времени, подставим значение \(t\) в полученные формулы. Например, если нам нужно найти координату и скорость через 2 секунды (\(t = 2\)), мы можем использовать следующие формулы:

\(x = 4 \cos(\frac{\pi}{10} \cdot 2)\)
\(v = -\frac{4\pi}{10} \sin(\frac{\pi}{10} \cdot 2)\)

Подставляя значения \(t = 2\) в формулы, получим:

\(x = 4 \cos(\frac{\pi}{10} \cdot 2)\) = 4 \(\cos(\frac{\pi}{5})\)
\(v = -\frac{4\pi}{10} \sin(\frac{\pi}{10} \cdot 2)\) = -\(\frac{4\pi}{10} \sin(\frac{\pi}{5})\)

Теперь мы можем вычислить значения координаты и скорости.