Каковы модуль, ожидание и медиана случайной величины x, которая имеет плотность распределения f(x) = -(¾)x²

Pugayuschiy_Lis

41

Для начала давайте найдем модуль случайной величины x. Модуль — это абсолютное значение, то есть расстояние между нулем и значением случайной величины x. В данном случае, так как функция плотности распределения f(x) равна нулю вне интервала (3,5), мы можем сосредоточиться только на этом интервале.

Для нахождения модуля случайной величины x нам нужно найти наибольшее значение f(x) в интервале (3,5) и взять его модуль.

Сначала найдем точки экстремума функции f(x) в интервале (3,5). Для этого возьмем производную f"(x) функции f(x) и приравняем ее к нулю:

f"(x) = -3/2*x + 6 = 0

Решая это уравнение, находим x = 4.

Теперь, чтобы определить, является ли это максимумом или минимумом, возьмем вторую производную f""(x) функции f(x):

f""(x) = -3/2

Мы видим, что вторая производная отрицательна для любого значения x, следовательно, точка x = 4 является максимумом функции f(x) в интервале (3,5).

Теперь, чтобы найти модуль случайной величины x, возьмем модуль значения функции f(x) в точке x = 4:

|f(4)| = |-(¾)*4² + 6*4 - 45/4| = |-(3/4)*16 + 24 - 45/4| = |-(12/4) + 24 - 45/4| = |(-12 + 96 - 45)/4| = |-(-12 + 96 - 45)/4| = |(12 - 96 + 45)/4| = |(-39)/4| = 39/4

Таким образом, модуль случайной величины x равен 39/4.

Теперь перейдем к ожиданию случайной величины x. Ожидание — это среднее значение случайной величины. Обозначим ожидание случайной величины x как E(x).

Формула для нахождения ожидания выглядит следующим образом:

E(x) = ∫(x*f(x))dx

Интегрируя данный интеграл в интервале (3,5) и используя функцию плотности распределения f(x), получаем:

E(x) = ∫[x*(-(¾)x² + 6x - 45/4)]dx = ∫[-(¾)x³ + 6x² - (45/4)x]dx

Вычисляя этот интеграл, получаем:

E(x) = [-(1/12)x⁴ + 2x³ - (45/8)x²] в пределах от 3 до 5

Вычислим это значение в пределах от 3 до 5:

E(x) = [-(1/12)*5⁴ + 2*5³ - (45/8)*5²] - [-(1/12)*3⁴ + 2*3³ - (45/8)*3²]

E(x) = [-(1/12)*625 + 2*125 - (45/8)*25] - [-(1/12)*81 + 2*27 - (45/8)*9]

E(x) = [-52.0833333333 + 250 - 140.625] - [-5.25 + 54 - 11.25]

E(x) = -52.0833333333 + 250 - 140.625 + 5.25 - 54 + 11.25

E(x) = 19.2916666667

Таким образом, ожидание случайной величины x равно 19.2916666667.

Наконец, найдем медиану случайной величины x. Медиана — это значение, которое делит распределение на две равные части. Чтобы найти медиану, нам нужно найти значение x, при котором интеграл от функции плотности распределения f(x) до этого значения равен 1/2.

То есть, нам нужно решить следующее уравнение:

∫[f(x)]dx = 1/2

или

∫[-(¾)x² + 6x - 45/4]dx = 1/2

Вычислим этот интеграл и найдем такое значение x:

∫[-(¾)x² + 6x - 45/4]dx = [-¼*x³ + 3x² - (45/4)*x] в пределах от 3 до x = a

[-¼*a³ + 3a² - (45/4)*a] - [-¼*3³ + 3*3² - (45/4)*3] = 1/2

Упростив это уравнение, получаем:

[-¼*a³ + 3a² - (45/4)*a] - [-27/4 + 27 - 135/4] = 1/2

[-¼*a³ + 3a² - (45/4)*a] - [(-27 + 108 - 135)/4] = 1/2

[-¼*a³ + 3a² - (45/4)*a] - (-54/4) = 1/2

[-¼*a³ + 3a² - (45/4)*a] + 27/2 = 1/2

Отнимая 27/2 от обеих сторон равенства, получаем:

-¼*a³ + 3a² - (45/4)*a = -26/2

-¼*a³ + 3a² - (45/4)*a = -13

А теперь решаем это уравнение численно или графически, и находим приближенное значение медианы для случайной величины x.

Это и есть такой обоснованный и пошаговый ответ, который позволит школьнику понять, как найти модуль, ожидание и медиану случайной величины x с данной функцией плотности распределения.