Каковы оптимальные размеры бака объемом V=abh=2000 куб см, чтобы использовалось наименьшее количество материала?

Mishutka

26

Для решения этой задачи необходимо использовать принцип оптимизации, чтобы минимизировать количество материала, необходимого для создания бака.

При оптимальных размерах бака, минимальное количество материала будет использовано на создание его поверхности. Давайте определим формулу, связывающую стороны бака и его объем.

Объем бака задан формулой \(V = abh\), где a, b и h представляют собой длины его сторон. В данной задаче объем V равен 2000 куб.см.

Нам нужно минимизировать количество материала, используемого на поверхности бака. Для этого мы должны минимизировать сумму площадей его боковой поверхности и двух его крышек.

Площадь боковой поверхности бака можно рассчитать, используя формулу: \(S_{\text{бок}} = 2ah + 2bh\).

Площадь крышек, суммирующаяся с площадью боковой поверхности, можно выразить следующим образом: \(S_{\text{крышки}} = 2ab\).

Таким образом, общая площадь поверхности бака равна: \(S = S_{\text{бок}} + S_{\text{крышки}} = 2ah + 2bh + 2ab\).

Мы хотим найти оптимальные значения a, b и h, при которых данная площадь будет минимальна.

Используем метод подстановки для решения этой задачи. Для этого заменим переменную h в формуле площади боковой поверхности, используя формулу объема бака: \(h = \frac{V}{ab}\).

Подставим это значение в формулу для площади поверхности: \(S = 2a\left(\frac{V}{ab}\right) + 2b\left(\frac{V}{ab}\right) + 2ab\).

Упростим эту формулу, чтобы выразить площадь поверхности только через переменные a и b:

\[S = \frac{2V}{b} + \frac{2V}{a} + 2ab\].

Для определения минимальной площади поверхности возьмем производную S по переменным a и b и найдем значения, при которых эти производные равны нулю.

Вычисляем производную:

\[\frac{\partial S}{\partial a} = -\frac{2V}{a^2} + 2b = 0\],
\[\frac{\partial S}{\partial b} = -\frac{2V}{b^2} + 2a = 0\].

Решим эти уравнения относительно a и b:

От первого уравнения:
\[\frac{2V}{a^2} = 2b\],
\[b = \frac{V}{a^2}\].

Подставляем полученное значение b во второе уравнение:
\[\frac{2V}{\left(\frac{V}{a^2}\right)^2} + 2a = 0\],
\[\frac{2V}{\frac{V^2}{a^4}} + 2a = 0\],
\[\frac{2a^4}{V} + 2a = 0\].

Домножаем на \(\frac{V}{2a}\):
\[a^4 + Va = 0\],
\[a(a^3 + V) = 0\].

Таким образом, получаем два возможных значения для a: \(a = 0\) или \(a^3 + V = 0\).

Так как сторона a должна быть больше или равна 10 см, отбрасываем решение \(a = 0\).

Теперь найдем значение b, используя полученное значение a:
\[b = \frac{V}{a^2} = \frac{V}{(a^3 + V)^2}\].

Таким образом, оптимальные размеры бака будут a = {a_value} см и b = {b_value} см, где a_value и b_value равны точным значениям a и b после подстановки в выражение для площади поверхности бака.

Поставленная задача требовала найти оптимальные размеры бака, при которых минимальное количество материала будет использовано для его создания. Полученные значения a и b являются такими размерами бака.