Каковы остальные стороны треугольника, если медиана, проходящая через биссектрису, пересекается под прямым углом

Feya

48

Данная задача требует использования свойств треугольников и знания о медианах, биссектрисах и отношении сторон треугольника.

Пусть стороны треугольника обозначаются как \(a\), \(b\) и \(c\), где \(c\) является стороной треугольника, к которой проведена биссектриса. Согласно условию, известно, что сторона \(c\) в два раза больше третьей стороны, то есть \(c = 2a\).

Также дано, что медиана, проходящая через биссектрису, пересекается под прямым углом и имеет длину 8. Обозначим точку пересечения медианы с биссектрисой как \(M\). Поскольку медиана делит биссектрису пополам, то длина от точки пересечения \(M\) до вершины треугольника равна 4.

Теперь мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения длин других сторон треугольника. Заметим, что треугольник \(CMO\) является прямоугольным, где \(O\) - вершина треугольника, а \(C\) и \(M\) - точки пересечения медианы и биссектрисы.

Применим теорему Пифагора для треугольника \(CMO\):
\[CO^2 = CM^2 + MO^2\]
\[a^2 = 4^2 + 8^2\]
\[a^2 = 16 + 64\]
\[a^2 = 80\]
\[a = \sqrt{80}\]

Таким образом, длины сторон треугольника равны \(a = \sqrt{80}\), \(b = \sqrt{80}\) и \(c = 2a = 2\sqrt{80}\).

Итак, остальные стороны треугольника равны \(\sqrt{80}\) и \(2\sqrt{80}\).