Каковы площадь боковой поверхности и площадь всей поверхности четырехугольной пирамиды, если апофема равна 17 и сторона

Lapka

27

Для решения задачи о площади боковой поверхности и площади всей поверхности четырехугольной пирамиды, когда апофема равна 17, а сторона основания — \(a\), мы можем использовать следующие формулы:

1) Формула для площади боковой поверхности:
\[S_{\text{бок}} = a \times P_{\text{бок}},
\]
где \(P_{\text{бок}}\) — периметр боковой грани.

2) Формула для площади всей поверхности:
\[S_{\text{полн}} = S_{\text{бок}} + S_{\text{осн}},
\]
где \(S_{\text{осн}}\) — площадь основания.

Для начала найдем периметр боковой грани. Четырехугольная пирамида имеет четыре боковые грани, каждая из которых является треугольником. Так как сторона основания равна \(a\), то сторона треугольника на основании тоже равна \(a\). При этом, апофема равна длине отрезка от вершины пирамиды до середины стороны треугольника на основании. Так как апофема равна 17, получаем, что \(17\) — это гипотенуза прямоугольного треугольника, а \(a/2\) — его катет.

Применяя теорему Пифагора, можно найти значение \(a/2\):
\[\left(\frac{a}{2}\right)^2 + h^2 = 17^2,
\]
где \(h\) — высота боковой грани, то есть, значение \(h\) можно найти по теореме Пифагора.

Используя полученное значение \(h\), мы можем найти периметр \(P_{\text{бок}}\) треугольника на основании. Периметр треугольника — это сумма длин его сторон. Так как у нас треугольник равнобедренный, то две его стороны длиной \(a\), а третья сторона — апофема \(17\), так как апофема является высотой для этого треугольника. Зная это, можно записать формулу для периметра:
\[P_{\text{бок}} = 2a + 17.
\]

Теперь, зная периметр боковой грани и длину ее стороны, можно найти площадь боковой поверхности пирамиды по первой формуле:
\[S_{\text{бок}} = a \times P_{\text{бок}}.
\]

Наконец, чтобы найти площадь основания, сначала найдем площадь треугольника на основании. Он является прямоугольным треугольником с катетами длиной \(a/2\). Площадь такого треугольника можно найти по формуле:
\[S_{\text{осн}} = \frac{1}{2} \times \frac{a}{2} \times \frac{a}{2}.
\]

И, наконец, подставим полученные значения в формулу для площади всей поверхности:
\[S_{\text{полн}} = S_{\text{бок}} + S_{\text{осн}}.
\]

Последовательно выполняя указанные шаги, получим искомые значения площадей боковой поверхности и всей поверхности четырехугольной пирамиды для заданного значения апофемы и стороны основания.