Каковы площадь описанного круга и длина вписанной окружности для правильного четырехугольника со стороной длиной

Snegir_5651

10

Для решения данной задачи, нам необходимо знать длину стороны правильного четырехугольника.

Правильный четырехугольник имеет все стороны равными и все углы равными 90 градусам. В этом случае, мы можем представить правильный четырехугольник как квадрат.

Пусть сторона квадрата равна \(a\).

Для нахождения площади описанного круга, нам необходимо найти радиус описанной окружности. Радиус описанной окружности в квадрате равнобедренного треугольника равен половине диагонали. Диагональ квадрата равна \(a \sqrt{2}\). Таким образом, радиус описанной окружности равен \(\frac{a \sqrt{2}}{2}\). Площадь описанного круга вычисляется по формуле \(S = \pi r^2\), где \(r\) - радиус окружности. Подставляя значения, получим:

\[
S_{\text{описанного круга}} = \pi \left(\frac{a \sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{\pi a^2}{2}
\]

Теперь рассмотрим вписанную окружность. Для нахождения длины вписанной окружности, нам необходимо знать радиус вписанной окружности. Радиус вписанной окружности в квадрате равнобедренного треугольника равен половине стороны квадрата. Таким образом, радиус вписанной окружности равен \(\frac{a}{2}\). Длина вписанной окружности вычисляется по формуле \(C = 2 \pi r\), где \(r\) - радиус окружности. Подставляя значения, получим:

\[
C_{\text{вписанной окружности}} = 2 \pi \left(\frac{a}{2}\right) = \pi a
\]

Итак, площадь описанного круга для правильного четырехугольника со стороной длиной \(a\) равна \(\frac{\pi a^2}{2}\), а длина вписанной окружности равна \(\pi a\).

Надеюсь, объяснение было понятным. Если остались вопросы, пожалуйста, задайте их!