Каковы площади красного и незакрашенного отрезков, если радиус окружности составляет 12 дм, а меньший центральный угол

Арина

69

Для решения данной задачи, мы можем использовать геометрический подход. Первым шагом будет нахождение длины дуги между двумя точками на окружности, которая соответствует данному центральному углу. Затем, мы сможем использовать найденную длину дуги, чтобы найти площадь каждого из отрезков.

Давайте начнем с нахождения длины дуги между двумя точками на окружности. Для этого нам понадобится формула для длины дуги:

\[Длина\_дуги = \frac{2\pi r \cdot Угол}{360}\]

Где \(r\) - радиус окружности, а \(Угол\) - меньший центральный угол в градусах.

Подставляя значения в формулу, получим:

\[Длина\_дуги = \frac{2\pi \cdot 12 \cdot 90}{360} = \frac{2\pi \cdot 12 \cdot 90}{360} = 6\pi\, \text{дм}\]

Теперь, у нас есть длина дуги, которая равна \(6\pi\) дм. Используя эту длину, мы можем найти площадь красного отрезка, который является сектором окружности, ограниченным данной дугой и радиусом.

Формула для площади сектора окружности:

\[Площадь\_сектора = \frac{Длина\_дуги \cdot r}{2}\]

Подставляя значения в формулу, получим:

\[Площадь\_красного\_отрезка = \frac{6\pi \cdot 12}{2} = 36\pi \, \text{дм}^2\]

Теперь, давайте найдем площадь незакрашенного отрезка, который является разностью площади всей окружности и площади красного отрезка.

Площадь всей окружности:

\[Площадь\_окружности = \pi \cdot r^2\]

Подставляя значение радиуса в формулу, получим:

\[Площадь\_окружности = \pi \cdot 12^2 = 144\pi \, \text{дм}^2\]

Теперь, найдем площадь незакрашенного отрезка:

\[Площадь\_незакрашенного\_отрезка = Площадь\_окружности - Площадь\_красного\_отрезка\]

Подставляя значения в формулу, получим:

\[Площадь\_незакрашенного\_отрезка = 144\pi \, \text{дм}^2 - 36\pi \, \text{дм}^2 = 108\pi \, \text{дм}^2\]

Таким образом, площадь красного отрезка составляет \(36\pi \, \text{дм}^2\), а площадь незакрашенного отрезка составляет \(108\pi \, \text{дм}^2\).