Каковы площади описанного и вписанного в данный равносторонний треугольник кругов, если радиус вписанного круга равен

Solnce_V_Gorode

38

Для начала, давайте вспомним некоторые свойства равностороннего треугольника. В равностороннем треугольнике все стороны равны, а все углы равны 60 градусам. Это важно, так как позволяет нам использовать эти свойства для решения задачи.

Давайте рассмотрим сначала описанный вокруг равностороннего треугольника круг. Поскольку все стороны этого треугольника равны, мы знаем, что точка пересечения середин всех его сторон является центром описанного круга.

Чтобы найти площадь описанного круга, нам нужно знать его радиус. Однако, в этой задаче нам дан радиус вписанного круга. Тем не менее, существует связь между радиусами вписанного и описанного кругов в равностороннем треугольнике.

Соотношение между радиусами вписанного и описанного кругов в равностороннем треугольнике можно выразить следующим образом:

\[R = 2r,\]

где R - радиус описанного круга, а r - радиус вписанного круга.

Теперь, когда мы знаем соотношение между радиусами, мы можем найти радиус описанного круга. Для этого умножим радиус вписанного круга на 2:

\[R = 2 \cdot r.\]

Теперь у нас есть значение радиуса описанного круга. Чтобы найти площадь описанного круга, мы можем использовать формулу для площади круга:

\[S = \pi R^2.\]

Подставляя значение радиуса R, получаем:

\[S = \pi \cdot (2 \cdot r)^2.\]

Раскрывая скобки, получаем:

\[S = \pi \cdot 4 \cdot r^2.\]

Таким образом, площадь описанного вокруг равностороннего треугольника круга равна \(\pi \cdot 4 \cdot r^2\).

Теперь рассмотрим вписанный в равносторонний треугольник круг. Внтури равностороннего треугольника можно провести биссектрисы его углов, которые пересекаются в центре вписанного круга.

Вы можете принять этот центр вписанного круга за точку пересечения биссектрис треугольника. Заметьте, что биссектрисы треугольника также являются медианами, а значит, центр вписанного круга является точкой пересечения медиан треугольника.

Для нахождения площади вписанного круга нам потребуется знать его радиус. Так как мы знаем только радиус описанного круга, нам нужно использовать снова соотношение между радиусами вписанного и описанного кругов в равностороннем треугольнике:

\[R = 2r.\]

Следовательно, радиус вписанного круга будет равен половине радиуса описанного круга:

\[r = \frac{R}{2}.\]

Теперь мы можем вычислить площадь вписанного круга, используя формулу для площади круга:

\[S = \pi r^2.\]

Подставляя значение радиуса r, получаем:

\[S = \pi \left(\frac{R}{2}\right)^2.\]

Дальше вычисляем:

\[S = \pi \cdot \frac{R^2}{4}.\]

Таким образом, площадь вписанного в равносторонний треугольник круга равна \(\pi \cdot \frac{R^2}{4}\).

Итак, ответ на задачу: площадь описанного круга равно \(\pi \cdot 4 \cdot r^2\), а площадь вписанного круга равно \(\pi \cdot \frac{R^2}{4}\), где r - радиус вписанного круга, R - радиус описанного круга.