Каковы размеры основания равнобедренного треугольника, если боковая сторона равна 5 см, а радиус описанной окружности

Yaguar_604

36

Хорошо, давайте решим эту задачу шаг за шагом.

Для начала, давайте проанализируем свойства равнобедренного треугольника. В равнобедренном треугольнике две стороны одинаковой длины, а третья сторона (основание) имеет другую длину. Мы можем использовать эти свойства для решения задачи.

Дано, что боковая сторона равна 5 см. Обозначим эту сторону как a, а основание как b.

Так как треугольник равнобедренный, то a = b.

Известно также, что радиус описанной окружности равен 25/6. Обозначим радиус как R.

Зная радиус описанной окружности, мы можем выразить его через стороны треугольника с помощью следующей формулы:
\[R = \frac{abc}{4S},\]
где S - площадь треугольника.

Так как треугольник равнобедренный, мы можем использовать известную формулу для площади равнобедренного треугольника:
\[S = \frac{b}{4}\sqrt{4a^2 - b^2}.\]

Теперь мы можем подставить известные значения в формулу для радиуса и найти b.

Подставим известные значения в формулу для площади:
\[S = \frac{b}{4}\sqrt{4a^2 - b^2} = \frac{b}{4}\sqrt{4(5^2) - b^2} = \frac{b}{4}\sqrt{100 - b^2}.\]

Теперь подставим площадь в формулу для радиуса и решим уравнение относительно b:
\[\frac{25}{6} = \frac{b \cdot b \cdot b}{4 \cdot \frac{b}{4} \cdot \sqrt{100 - b^2}}.\]

Упростим уравнение:
\[\frac{25}{6} = \frac{b^2}{\sqrt{100 - b^2}}.\]

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:
\[\left(\frac{25}{6}\right)^2 = \left(\frac{b^2}{\sqrt{100 - b^2}}\right)^2.\]

\[\frac{625}{36} = \frac{b^4}{100 - b^2}.\]

Умножим обе части уравнения на (100 - b^2), чтобы избавиться от знаменателя:
\[\frac{625}{36}(100 - b^2) = b^4.\]

Раскроем скобки:
\[62500 - \frac{625}{9}b^2 = b^4.\]

Перенесем все члены в правую часть уравнения:
\[b^4 + \frac{625}{9}b^2 - 62500 = 0.\]

Теперь мы получили квадратное уравнение относительно b^2. Решим его с помощью квадратного корня:
\[b^2 = \frac{-\frac{625}{9} \pm \sqrt{\left(\frac{625}{9}\right)^2 + 4 \cdot 1 \cdot 62500}}{2 \cdot 1}.\]

\[b^2 = \frac{-\frac{625}{9} \pm \sqrt{\frac{390625}{81} + \frac{250000}{1}}}{2}.\]

\[b^2 = \frac{-\frac{625}{9} \pm \sqrt{\frac{437500}{81}}}{2}.\]

\[b^2 = \frac{-\frac{625}{9} \pm \sqrt{\frac{437500}{81}}}{2}.\]

\[b^2 = \frac{-\frac{625}{9} \pm \frac{250\sqrt{7}}{9}}{2}.\]

Теперь можем получить два возможных значения для b:
\[b_1^2 = \frac{-\frac{625}{9} + \frac{250\sqrt{7}}{9}}{2} \approx 7.8.\]
\[b_2^2 = \frac{-\frac{625}{9} - \frac{250\sqrt{7}}{9}}{2} \approx 2.2.\]

Так как длина стороны не может быть отрицательной, мы можем выбрать только положительное значение ближе к радиусу описанной окружности:
\[b \approx \sqrt{2.2} \approx 1.48.\]

Таким образом, размеры основания равнобедренного треугольника составляют около 1.48 см. Ответ округлен для удобства представления, но при использовании точных значений, получится число чуть больше, чем 1.48.