Каковы размеры (радиус) звезды Арктур, если ее яркость составляет 113 яркостей Солнца, а температура ее фотосферы равна

Подсолнух

33

Чтобы найти радиус звезды Арктур, мы можем использовать закон Стефана-Больцмана и закон Вина.

Закон Стефана-Больцмана гласит, что общая энергия \( E \), излучаемая черным телом, пропорциональна четвертой степени его температуры \( T \):

\[ E = \sigma \cdot T^4 \]

где \( \sigma = 5.67 \times 10^{-8} \, \text{Вт/м}^2\cdot\text{К}^4 \) - постоянная Стефана-Больцмана.

Таким образом, для звезды Арктур мы можем записать:

\[ E_A = \sigma \cdot T_A^4 \]

где \( E_A \) - общая энергия, излучаемая звездой Арктур, а \( T_A \) - ее температура.

Аналогично, для Солнца мы можем записать:

\[ E_\odot = \sigma \cdot T_\odot^4 \]

где \( E_\odot \) - общая энергия, излучаемая Солнцем, а \( T_\odot \) - его температура.

Так как яркость звезды Арктур равна 113 яркостям Солнца, мы можем написать:

\[ \frac{{E_A}}{{E_\odot}} = 113 \]

Так как яркость пропорциональна площади поверхности, а площадь поверхности сферы пропорциональна квадрату ее радиуса, мы можем записать:

\[ \frac{{E_A}}{{E_\odot}} = \left(\frac{{R_A}}{{R_\odot}}\right)^2 \]

где \( R_A \) - радиус звезды Арктур, а \( R_\odot \) - радиус Солнца.

Таким образом, мы получаем:

\[ \left(\frac{{R_A}}{{R_\odot}}\right)^2 = 113 \]

Извлекая квадратный корень, получаем:

\[ \frac{{R_A}}{{R_\odot}} = \sqrt{113} \]

Теперь, чтобы найти радиус звезды Арктур, нам нужно знать радиус Солнца, \( R_\odot \). По известному факту, что радиус Солнца в 109 раз больше радиуса Земли, мы можем записать:

\[ R_\odot = 109 \cdot R_\text{Земли} \]

Теперь мы можем подставить это значение в предыдущее уравнение:

\[ \frac{{R_A}}{{109 \cdot R_\text{Земли}}} = \sqrt{113} \]

И теперь мы можем найти радиус звезды Арктур, умножив оба значения радиуса Солнца на \(\sqrt{113}\):

\[ R_A = 109 \cdot R_\text{Земли} \cdot \sqrt{113} \]

Если нам дано значение радиуса Земли, мы можем вычислить радиус звезды Арктур, используя эту формулу.