Каковы скорость и полное ускорение точки на ободе маховика в пятую секунду, если его диаметр равен 500 мм

Malyshka

63

Хорошо, давайте решим эту задачу шаг за шагом.

У нас есть уравнение, описывающее вращение маховика: \( f = 0,2t^2 + 6t \), где \( f \) - угловая координата в радианах, а \( t \) - время в секундах.

Первым шагом нам нужно найти скорость точки на ободе маховика в пятую секунду.

Для этого мы можем использовать производную уравнения \( f \) по времени \( t \), чтобы найти скорость вращения маховика.

Берем производную уравнения \( f \) по времени \( t \):

\[ v = \frac{{df}}{{dt}} = \frac{{d}}{{dt}}(0,2t^2 + 6t) \]

Чтобы продолжить, нам нужно вычислить производную каждого слагаемого этого уравнения по отдельности. Когда у нас есть несколько слагаемых, мы можем взять производную каждого слагаемого по отдельности, а затем сложить результаты. Давайте найдем производные каждого слагаемого:

\[ \frac{{d}}{{dt}}(0,2t^2) = 0,4t \]

\[ \frac{{d}}{{dt}}(6t) = 6 \]

Теперь добавим эти два слагаемых вместе, чтобы получить производную уравнения \( f \):

\[ v = 0,4t + 6 \]

Теперь, чтобы найти скорость точки на ободе маховика в пятую секунду, мы подставляем \( t = 5 \) в уравнение \( v \):

\[ v = 0,4(5) + 6 = 2 + 6 = 8 \]

Таким образом, скорость точки на ободе маховика в пятую секунду равна 8 рад/с.

Теперь перейдем к полному ускорению точки на ободе маховика в пятую секунду.

Полное ускорение складывается из двух компонент: ускорения, связанного с изменением скорости, и ускорения, связанного с изменением направления скорости. Для точки на ободе маховика у нас есть только ускорение, связанное с изменением направления скорости, так как ее модуль постоянен и равен радиусу маховика.

Таким образом, полное ускорение точки на ободе маховика в пятую секунду будет равно радиусу маховика, который равен половине его диаметра:

\[ a = \frac{{d}}{{2}} = \frac{{500 \, \text{мм}}}{{2}} = 250 \, \text{мм} \]

Так как диаметр дан в миллиметрах, а полное ускорение обычно выражается в метрах, нам нужно перевести его в метры:

\[ a = 250 \, \text{мм} = 0,25 \, \text{м} \]

Таким образом, полное ускорение точки на ободе маховика в пятую секунду равно 0,25 м/с\(^2\).

Итак, скорость точки на ободе маховика в пятую секунду составляет 8 рад/с, а полное ускорение равно 0,25 м/с\(^2\).