Каковы скорость и ускорение груза А в моменты времени t1 и t2, а также скорость и ускорение точки В на ободе барабана

Zayka

14

Для решения данной задачи поступим следующим образом:

1. Вычислим скорость груза А в момент времени t1. Скорость определяется как производная от функции положения по времени. Зная уравнение движения груза А y = at^2 + bt + c, возьмем первую производную от этой функции: \(\frac{{dy}}{{dt}} = 2at + b\).

Подставим значения известных коэффициентов в это уравнение:
\(v_1 = \frac{{dy}}{{dt}} = 2a_1t_1 + b_1\)
\(v_1 = 2 \cdot 3 \cdot 1 + 4\)
\(v_1 = 6 + 4\)
\(v_1 = 10\) м/с

Таким образом, скорость груза А в момент времени t1 равна 10 м/с.

2. Вычислим ускорение груза А в момент времени t1. Ускорение также определяется как производная от скорости по времени. Возьмем производную от уравнения скорости груза А:
\(\frac{{dv}}{{dt}} = 2a_1\).

Подставим значение известного коэффициента в это уравнение:
\(a_1 = \frac{{dv}}{{dt}} = 2 \cdot 3\)
\(a_1 = 6\) м/с²

Таким образом, ускорение груза А в момент времени t1 равно 6 м/с².

3. Аналогичным образом найдем скорость и ускорение груза А в момент времени t2, подставив в уравнения значения t2, a2 и b2:
\(v_2 = 2a_2t_2 + b_2\)
\(a_2 = 2a_2\)

Подставим значения:
\(v_2 = 2 \cdot 3 \cdot 3 + 4\)
\(v_2 = 18 + 4\)
\(v_2 = 22\) м/с

\(a_2 = 2 \cdot 3\)
\(a_2 = 6\) м/с²

Таким образом, скорость груза А в момент времени t2 равна 22 м/с, а ускорение - 6 м/с².

4. Для определения скорости и ускорения точки В на ободе барабана лебедки воспользуемся следующими свойствами. Пусть r1 - радиус барабана и r2 - радиус точки В. Тогда скорость точки В равна скорости груза А, а ускорение точки В равно ускорению груза А, умноженному на отношение радиуса точки В к радиусу барабана:

\(v_B = v_1 = 10\) м/с

\(a_B = a_1 \cdot \frac{{r_2}}{{r_1}} = 6 \cdot \frac{{r_2}}{{0,6}}\) м/с²

Подставим значение r1 и рассчитаем значение a_B:

\(a_B = 6 \cdot \frac{{r_2}}{{0,6}}\) м/с²

Таким образом, скорость точки В на ободе барабана лебедки равна 10 м/с, а ускорение - \(6 \cdot \frac{{r_2}}{{0,6}}\) м/с², где r2 - радиус точки В.