Каковы возможные значения случайной величины Х, которая представляет количество черных шаров среди выбранных, если

Лунный_Шаман

65

Чтобы решить эту задачу, нам нужно рассмотреть различные варианты сочетаний черных шаров, которые могут быть выбраны из ящика.

У нас есть ящик с 10 белыми и 2 черными шарами. Случайная величина X представляет количество черных шаров среди выбранных. Мы должны выбрать 3 шара из ящика.

Для нахождения возможных значений X, нам нужно рассмотреть все возможные сочетания, где 0, 1, 2 или 3 черных шара могут быть выбраны. Давайте рассмотрим каждый вариант по отдельности:

а) 0 черных шаров. Это означает, что мы выбрали только белые шары. Из 10 белых шаров мы можем выбрать 3 шара по следующей формуле: \(\binom{10}{3}\) (читается как "10 по 3"). По правилу сочетаний это равно числу сочетаний 10 по 3, что можно рассчитать следующим образом:

\[\binom{10}{3} = \frac{10!}{3! \cdot (10-3)!}\]

Вычисляем это:

\[\binom{10}{3} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 120\]

Таким образом, возможное значение X равно 0.

б) 1 черный шар. В этом случае нам нужно выбрать 1 черный шар и 2 белых шара. Число сочетаний 2 по 1 (2 по 1) представляет количество способов выбрать 1 черный шар из 2, и число сочетаний 10 по 2 (10 по 2) представляет количество способов выбрать 2 белых шара из 10.

\(\binom{2}{1}\) = 2 (выбираем 1 черный шар из 2)

\(\binom{10}{2}\) = 45 (выбираем 2 белых шара из 10)

Мы должны умножить эти два числа вместе, чтобы найти количество сочетаний, когда мы выбираем 1 черный и 2 белых шара:

\(2 \cdot 45 = 90\)

Таким образом, возможное значение X равно 1.

в) 2 черных шара. В этом случае нам нужно выбрать 2 черных шара и 1 белый шар. Число сочетаний 2 по 2 (2 по 2) представляет количество способов выбрать 2 черных шара из 2, и число сочетаний 10 по 1 (10 по 1) представляет количество способов выбрать 1 белый шар из 10.

\(\binom{2}{2}\) = 1 (выбираем 2 черных шара из 2)

\(\binom{10}{1}\) = 10 (выбираем 1 белый шар из 10)

Мы должны умножить эти два числа вместе, чтобы найти количество сочетаний, когда мы выбираем 2 черных и 1 белый шар:

\(1 \cdot 10 = 10\)

Таким образом, возможное значение X равно 2.

г) 3 черных шара. В этом случае нам нужно выбрать все 3 черных шара из 2 черных.

\(\binom{2}{3}\) = 0 (невозможно выбрать 3 черных шара из 2)

Таким образом, возможное значение X равно 3.

д) 4 черных шара. В этом случае нам нужно выбрать больше черных шаров, чем имеется в наличии.

\(\binom{2}{4}\) = 0 (невозможно выбрать 4 черных шара из 2)

Таким образом, возможное значение X равно 4.

Таким образом, из представленных вариантов ответов, возможные значения для X равны 0, 1, 2, 3 и 4.