Каковы значения диагоналей параллелограмма с сторонами равными 4 см и 9 см, и углом между ними, равным 120°?

Magicheskiy_Kosmonavt

35

Конечно! Чтобы найти значения диагоналей параллелограмма, нам понадобятся знания о свойствах параллелограмма и тригонометрии.

В данной задаче у нас есть параллелограмм с двумя сторонами, равными 4 см и 9 см, и углом между ними, равным 120°.

1. Вспомним, что в параллелограмме противоположные стороны равны. Это значит, что мы можем найти длину второй стороны параллелограмма, используя заданную первую сторону.
2. Для этого воспользуемся косинусным законом, который гласит:

\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(\theta)\]

Где:
- \(c\) - диагональ, которую мы ищем,
- \(a\) и \(b\) - известные нам стороны параллелограмма,
- \(\theta\) - угол между сторонами \(a\) и \(b\).

3. Подставим известные значения в формулу:

\[c^2 = 4^2 + 9^2 - 2 \cdot 4 \cdot 9 \cdot \cos(120^\circ)\]

4. Теперь расчитаем значение косинуса 120°. Воспользуемся формулой:

\[\cos(120^\circ) = -\frac{1}{2}\]

5. Подставим значение косинуса в формулу для \(c\):

\[c^2 = 4^2 + 9^2 - 2 \cdot 4 \cdot 9 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)\]

6. Упростим выражение:

\[c^2 = 16 + 81 + 36\]
\[c^2 = 133\]

7. Найдем квадратный корень из обоих частей уравнения:

\[c = \sqrt{133}\]

Теперь мы знаем, что значение диагонали параллелограмма, составляющей угол 120° с известными сторонами 4 см и 9 см, равно \(\sqrt{133}\) см.