Каков радиус окружности, если длина сегмента касательной AK равна 4√3 метра и угол ∢OAK составляет 30 градусов?

Аделина

12

Чтобы найти радиус окружности, будем использовать знания о геометрии окружностей и свойствах касательных.

Дано, что длина сегмента касательной AK равна 4√3 метра. Давайте обозначим эту длину как l.

Также дано, что угол ∢OAK составляет 30 градусов.

Для решения этой задачи мы будем применять некоторые свойства треугольников.

Первым шагом нам понадобится построить треугольник OAK, где О - центр окружности, А - точка касания касательной с окружностью, а К - точка, где заданный сегмент секущей KC пересекается с окружностью.
Как мы знаем, в любом треугольнике сумма углов равна 180 градусов. У нас имеется угол ОАК (30 градусов) и прямой угол ОКА (90 градусов).

Таким образом, сумма углов ОАК и ОКА равна 120 градусов. Значит, угол ОКА равен (180 - 120) = 60 градусов.

Далее, мы можем использовать тригонометрическую функцию тангенса, чтобы связать угол ОКА с длиной сегмента AK и радиусом окружности.

Так как мы знаем, что тангенс угла ОКА равен отношению противолежащего катета (l) к прилежащему катету (радиус окружности), мы можем записать следующее уравнение:

\(\tan 60^\circ = \frac{l}{r}\), где r - радиус окружности.

Теперь давайте решим это уравнение относительно r.

Тангенс 60 градусов известен и равен \(\sqrt{3}\). Заменим это значение в уравнении:

\(\sqrt{3} = \frac{l}{r}\)

Теперь, чтобы найти r, нужно избавиться от деления. Умножим обе части уравнения на r:

\(\sqrt{3} \cdot r = l\)

Для нахождения r, разделим обе части уравнения на \(\sqrt{3}\):

\(r = \frac{l}{\sqrt{3}}\)

Теперь мы можем подставить данное значение длины сегмента AK (l = 4√3) в это уравнение:

\(r = \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\)

Упростим это выражение:

\(r = 4\)

Таким образом, радиус окружности равен 4 метрам.