Каковы значения sin2a, cos2a, tg2a в случае, когда значение cosa равно 1/3?

Лёля

40

Хорошо, давайте решим эту задачу. Мы знаем, что \(\cos(2a) = \cos^2(a) - \sin^2(a)\). Из этого мы можем получить значения \(\sin^2(a)\) и \(\cos^2(a)\) в зависимости от значения \(\cos(a)\).

Для начала, давайте найдем \(\sin(a)\) по формуле треугольника. Если \(\cos(a) = \frac{1}{3}\), то с помощью теоремы Пифагора мы можем найти значение \(\sin(a)\). Поскольку \(\cos(a) = \frac{1}{3}\), то значит противолежащий катет равен \(\sqrt{1 - \left(\frac{1}{3}\right)^2} = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}\). Таким образом, \(\sin(a) = \frac{2\sqrt{2}}{3}\).

Теперь, используя найденные значения \(\sin(a)\) и \(\cos(a)\), мы можем вычислить \(\sin^2(a)\) и \(\cos^2(a)\).

\(\sin^2(a) = \left(\frac{2\sqrt{2}}{3}\right)^2 = \frac{8}{9}\)

\(\cos^2(a) = \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{9}\)

Используя эти значения, мы можем вычислить \(\sin(2a)\), \(\cos(2a)\) и \(\tan(2a)\):

\(\sin(2a) = 2\sin(a)\cos(a) = 2\left(\frac{2\sqrt{2}}{3}\right)\left(\frac{1}{3}\right) = \frac{4\sqrt{2}}{9}\)

\(\cos(2a) = \cos^2(a) - \sin^2(a) = \frac{1}{9} - \frac{8}{9} = -\frac{7}{9}\)

\(\tan(2a) = \frac{\sin(2a)}{\cos(2a)} = \frac{\frac{4\sqrt{2}}{9}}{-\frac{7}{9}} = -\frac{4\sqrt{2}}{7}\)

Таким образом, когда \(\cos(a) = \frac{1}{3}\), значения \(\sin(2a)\), \(\cos(2a)\) и \(\tan(2a)\) будут соответственно равны \(\frac{4\sqrt{2}}{9}\), \(-\frac{7}{9}\) и \(-\frac{4\sqrt{2}}{7}\).