Каковы значения токов I1, I2 и I3, если заданы следующие значения сопротивлений и напряжений: R1 = 100 Ом, R2

Евгеньевич

44

Для решения этой задачи мы можем использовать законы Кирхгофа для анализа электрических цепей. Давайте начнем с общей схемы и пройдем поэтапно.

Шаг 1: Построение схемы
По условию, у нас имеется цепь с тремя сопротивлениями (R1, R2 и R3) и двумя источниками напряжения (E1 и E2). Чтобы проще было понять, как построить схему, я предлагаю использовать обозначенные буквами батарейки, провода и компоненты, как показано на рисунке:

\[
\begin{array}{ccccc}
& & R1=100\Omega & & \\
& & \downarrow & & E1=75V \\
--- & & \bullet & & --- \\
--- & E2 & \bullet & & --- \\
& & \uparrow I1 & & \\
& & R2=150\Omega & & \\
& & \downarrow & & \\
--- & & \bullet & & --- \\
& & \uparrow I3 & & \\
& & R3=150\Omega & &
\end{array}
\]

Шаг 2: Применение законов Кирхгофа
Закон Кирхгофа о сумме токов в узле гласит, что сумма токов, втекающих в узел, равна сумме токов, вытекающих из этого узла.
Мы также можем использовать закон Кирхгофа об узле для напряжения. Он гласит, что сумма напряжений в замкнутом контуре равна нулю.

Шаг 3: Определение значений токов
Нам нужно определить значения токов I1, I2 и I3.

В схеме мы видим, что I1 течет через R2 и R3, а затем распределяется между ними. Давайте применим закон Кирхгофа к узлу A (между R2 и R3):

\[
I1 = I2 + I3 \quad (1)
\]

Далее, можно использовать закон Кирхгофа для напряжения в замкнутом контуре ABCDA:

\[
E1 = I1 \cdot R1 + I2 \cdot R2 \quad (2)
\]

Также, источник напряжения E2 создает падение напряжения только через R3. Поэтому:

\[
E2 = I3 \cdot R3 \quad (3)
\]

Мы получили систему уравнений (1), (2) и (3), которую мы можем решить, чтобы найти значения токов I1, I2 и I3.

Шаг 4: Решение уравнений
Решим систему уравнений (1), (2) и (3) для определения значений токов.

\[
\begin{cases}
I1 = I2 + I3 \\
E1 = I1 \cdot R1 + I2 \cdot R2 \\
E2 = I3 \cdot R3 \\
\end{cases}
\]

Подставим значение I1 из первого уравнения во второе уравнение:

\[
E1 = (I2 + I3) \cdot R1 + I2 \cdot R2
\]

Распишем это уравнение:

\[
E1 = I2 \cdot R1 + I3 \cdot R1 + I2 \cdot R2
\]

Разделим это уравнение на R1:

\[
\frac{E1}{R1} = I2 + I3 + \frac{I2 \cdot R2}{R1}
\]

Подставим значение I3 из третьего уравнения в полученное уравнение:

\[
\frac{E1}{R1} = I2 + \frac{E2 \cdot R3}{R1} + \frac{I2 \cdot R2}{R1}
\]

Разделим все на \(I2\):

\[
\frac{{\frac{E1}{R1}}}{{I2}} = 1 + \frac{{\frac{E2 \cdot R3}{R1}}}{{I2}} + \frac{{\frac{I2 \cdot R2}{R1}}}{{I2}}
\]

Упростим:

\[
\frac{{\frac{E1}{R1}}}{{I2}} = 1 + \frac{{E2 \cdot R3}}{{R1 \cdot I2}} + \frac{{I2 \cdot R2}}{{R1 \cdot I2}}
\]

Вычтем 1 со всех сторон:

\[
\frac{{\frac{E1}{R1}}}{{I2}} - 1 = \frac{{E2 \cdot R3}}{{R1 \cdot I2}} + \frac{{I2 \cdot R2}}{{R1 \cdot I2}}
\]

Упростим:

\[
\frac{{E1 - I2 \cdot R1}}{{R1 \cdot I2}} = \frac{{E2 \cdot R3 + I2 \cdot R2}}{{R1 \cdot I2}}
\]

Упростим дробь:

\[
\frac{{E1 - I2 \cdot R1}}{{R1 \cdot I2}} = \frac{{E2 \cdot R3 + R2}}{{R1}}
\]

Умножим обе части на \(R1 \cdot I2\):

\[
E1 - I2 \cdot R1 = (E2 \cdot R3 + R2) \cdot I2
\]

Распишем это уравнение:

\[
E1 = I2 \cdot R1 + E2 \cdot R3 \cdot I2 + R2 \cdot I2
\]

Вынесем \(I2\) за скобки:

\[
E1 = I2 \cdot (R1 + R3 + R2)
\]

Теперь решим это уравнение относительно \(I2\):

\[
I2 = \frac{{E1}}{{R1 + R3 + R2}}
\]

Подставим это значение в (1) для нахождения \(I1\):

\[
I1 = \frac{{E1}}{{R1 + R3 + R2}} + I3
\]

Используя значение \(I1\) из (1) и \(I3\) из (3), мы можем решить уравнение относительно \(I3\):

\[
E2 = I3 \cdot R3
\]

Решая это уравнение, найдем \(I3\):

\[
I3 = \frac{{E2}}{{R3}}
\]

Шаг 5: Подставляем значения и рассчитываем токи
Теперь, когда у нас есть значения для \(I2\) и \(I3\), мы можем подставить их в уравнение для \(I1\) и рассчитать значения токов.

\[
I2 = \frac{{E1}}{{R1 + R3 + R2}}
\]

\[
I3 = \frac{{E2}}{{R3}}
\]

\[
I1 = \frac{{E1}}{{R1 + R3 + R2}} + \frac{{E2}}{{R3}}
\]

Шаг 6: Подставляем значения сопротивлений и напряжений
Остается только подставить значения сопротивлений и напряжений из условия задачи и вычислить искомые значения токов.

\[
R1 = 100 \Omega
\]

\[
R2 = R3 = 150 \Omega
\]

\[
E1 = 75 В
\]

\[
E2 = ? \quad \text{Ваш вопрос не содержит информации о значении E2. Пожалуйста, предоставьте значение E2, чтобы продолжить решение задачи.}
\]

Для полного решения задачи мне нужно знать значение E2. Пожалуйста, предоставьте это значение, и я смогу закончить решение задачи и найти значения токов I1, I2 и I3.