Какой будет оптимальный набор товаров для рационального потребителя с функцией полезности TU=2Qx*Qy, при ценах

Ярослав

41

Для решения этой задачи воспользуемся методом равных предпочтений. Для начала, давайте найдем предельную полезность каждого товара.

Предельная полезность товара X (MUx) выражается как производная от уравнения функции полезности TU по количеству товара X (Qx):

\[MUx = \frac{{d(TU)}}{{d(Qx)}} = 2Qy\]

Аналогично, предельная полезность товара Y (MUy) выражается как производная от уравнения функции полезности TU по количеству товара Y (Qy):

\[MUy = \frac{{d(TU)}}{{d(Qy)}} = 2Qx\]

Далее, чтобы определить оптимальный набор товаров, мы должны выполнить условие равенства предельных полезностей двух товаров:

\[\frac{{MUx}}{{Px}} = \frac{{MUy}}{{Py}}\]

где Px и Py - цены на товары X и Y соответственно.

В данном случае, цена товара X (Px) равна 15, а цена товара Y (Py) равна 5. Подставим эти значения в уравнение:

\[\frac{{2Qy}}{{15}} = \frac{{2Qx}}{{5}}\]

Мы также знаем, что доход потребителя полностью тратится на приобретение товаров, то есть сумма потраченных денежных единиц на каждый товар должна равняться доходу потребителя.

\(Px \cdot Qx + Py \cdot Qy = I\)

Доход потребителя (I) равен 50 денежным единицам. Подставим значения цен и дохода в уравнение:

\(15 \cdot Qx + 5 \cdot Qy = 50\)

Теперь у нас есть два уравнения, и мы можем решить их, чтобы найти оптимальный набор товаров.

\[\begin{cases} \frac{{2Qy}}{{15}} = \frac{{2Qx}}{{5}} \\ 15 \cdot Qx + 5 \cdot Qy = 50 \end{cases}\]

Домножим первое уравнение на 75, чтобы избавиться от дробей:

\[\begin{cases} 10Qy = 30Qx \\ 15 \cdot Qx + 5 \cdot Qy = 50 \end{cases}\]

Теперь выразим Qx из первого уравнения:

\[Qx = \frac{{10Qy}}{{30}} = \frac{{Qy}}{{3}}\]

Подставим это значение во второе уравнение:

\[15 \cdot \frac{{Qy}}{{3}} + 5 \cdot Qy = 50\]

Упростим уравнение:

\[5Qy + 5Qy = 50\]

\[10Qy = 50\]

\[Qy = \frac{{50}}{{10}}\]

\[Qy = 5\]

Теперь, найдя значение Qy, можем вычислить Qx:

\[Qx = \frac{{Qy}}{{3}} = \frac{{5}}{{3}}\]

Таким образом, оптимальный набор товаров для рационального потребителя с функцией полезности TU = 2Qx * Qy, при ценах на товары Px = 15 и Py = 5, а доходе потребителя равном 50 денежным единицам и полностью тратится на приобретение данных товаров, будет состоять из \(Qx = \frac{{5}}{{3}}\) единиц товара X и \(Qy = 5\) единиц товара Y.

Теперь давайте рассмотрим, как изменится этот набор, если цена на товар X составит 20 денежных единиц.

Если цена товара X увеличится до 20, то условие равенства предельных полезностей станет:

\[\frac{{2Qy}}{{20}} = \frac{{2Qx}}{{5}}\]

Мы также должны учесть ограничение на полное потраченное количество денежных единиц:

\[20 \cdot Qx + 5 \cdot Qy = 50\]

Повторяя все описанные шаги, найдем новый оптимальный набор товаров.

\[\begin{cases} \frac{{2Qy}}{{20}} = \frac{{2Qx}}{{5}} \\ 20 \cdot Qx + 5 \cdot Qy = 50 \end{cases}\]

Умножим первое уравнение на 100, чтобы избавиться от дроби:

\[\begin{cases} 10Qy = 40Qx \\ 20 \cdot Qx + 5 \cdot Qy = 50 \end{cases}\]

Выразим Qx из первого уравнения:

\[Qx = \frac{{10Qy}}{{40}} = \frac{{Qy}}{{4}}\]

Подставим это значение во второе уравнение:

\[20 \cdot \frac{{Qy}}{{4}} + 5 \cdot Qy = 50\]

Упростим уравнение:

\[5Qy + 5Qy = 50\]

\[10Qy = 50\]

\[Qy = \frac{{50}}{{10}}\]

\[Qy = 5\]

Теперь найдем Qx:

\[Qx = \frac{{Qy}}{{4}} = \frac{{5}}{{4}}\]

Итак, при цене на товар X, равной 20, оптимальный набор товаров будет состоять из \(Qx = \frac{{5}}{{4}}\) единиц товара X и \(Qy = 5\) единиц товара Y.

Таким образом, при изменении цены на товар X с 15 до 20 денежных единиц, оптимальный набор товаров изменяется на \(Qx = \frac{{5}}{{4}}\) единиц товара X и \(Qy = 5\) единиц товара Y.