Какой будет угол (γ), на который отклонятся шарики от вертикали после столкновения, если два одинаковых маленьких

Sladkaya_Siren

30

Чтобы решить эту задачу, нам понадобятся представление о законе сохранения импульса и законе сохранения энергии.

1. Закон сохранения импульса: В отсутствие внешних сил, сумма импульсов системы останется неизменной до и после столкновения. Поскольку шарики отскакивают друг от друга без начальной скорости, их общий импульс до и после столкновения должен быть равным нулю.

2. Закон сохранения энергии: В отсутствие внешних сил, полная механическая энергия системы (кинетическая энергия и потенциальная энергия) также останется постоянной в течение всего процесса.

Теперь рассмотрим решение задачи:

1. Рассмотрим горизонтальную ось x, где положительное направление - вправо.

2. Из-за симметрии системы, каждый шарик получит одинаковую, но противоположную по направлению скорость после столкновения.

3. Пусть скорость первого шарика после столкновения будет \(v_1\), а второго шарика - \(v_2\). Поскольку движение происходит только вдоль оси x, скорость каждого шарика может быть разложена на горизонтальную \(v_{1x}\) и вертикальную \(v_{1y}\) компоненты.

4. Так как общий импульс системы должен быть равным нулю, получаем уравнение:
\[m_1v_{1x} + m_2v_{2x} = 0\]

5. Поскольку движение отклоняется от горизонтальной оси, вертикальная компонента скорости (отклонение от вертикали) каждого шарика будет равна \(v_{1y} = v_1\sin(\alpha)\) и \(v_{2y} = v_2\sin(\beta)\).

6. Используя тригонометрические соотношения, мы можем выразить скорости через углы отклонения:
\[v_{1x} = v_1\cos(\alpha)\]
\[v_{2x} = v_2\cos(\beta)\]

7. Подставляя полученные значения скоростей в уравнение импульса, мы получим:
\[m_1v_1\cos(\alpha) + m_2v_2\cos(\beta) = 0\]

8. Теперь решим это уравнение относительно \(v_2\). Для этого воспользуемся известным значением \(v_1 = v_2\). Подставив эти значения и упростив уравнение, мы получим:
\[m_1\cos(\alpha) + m_2\cos(\beta) = 0\]

9. Далее мы можем найти отклонение от вертикали для каждого шарика, используя соответствующие вертикальные компоненты скоростей:
\[\gamma_1 = 90° - \arcsin\left(\frac{v_1\sin(\alpha)}{v_1}\right) = \arcsin(\sin(\alpha)) = \alpha\]
\[\gamma_2 = 90° - \arcsin\left(\frac{v_2\sin(\beta)}{v_2}\right) = \arcsin(\sin(\beta)) = \beta\]

10. Таким образом, углы отклонения \(\gamma_1\) и \(\gamma_2\) равны соответственно углам \(\alpha\) и \(\beta\).

11. Чтобы найти потерю энергии, мы можем воспользоваться следующей формулой:
\[\Delta E = E_{\text{начальная}} - E_{\text{конечная}}\]

12. Поскольку начальная и конечная кинетические энергии равны нулю (шарики освобождаются без начальной скорости), потеря энергии будет равна разности потенциальных энергий до и после столкновения:
\[\Delta E = mgh_{\text{начальный}} - mgh_{\text{конечный}}\]

13. Так как высота \(h\) не меняется и углы отклонения одинаковы, мы получаем:
\[\Delta E = 0 - 0 = 0\]

Таким образом, угол отклонения \(\gamma\) для каждого шарика будет равен исходному углу отклонения \(\alpha\) и \(\beta\) соответственно, а потеря энергии во время столкновения равна нулю.