Какой числитель получился у дроби, когда Вася и Маша «сократили» дробь 2018/2019 двадцать раз по своим правилам

Roza_2956

2

Чтобы решить эту задачу, мы должны "развернуть" процесс "сокращения" дроби 2018/2019. Для этого нам нужно сначала вычислить приведенную дробь 2018/2019, а затем расписать ее пошагово.

Для вычисления приведенной дроби 2018/2019, мы должны найти наибольший общий делитель (НОД) числителя и знаменателя. Дробь 2018/2019 будет равна числителю, поделенному на НОД числителя и знаменателя, и знаменатель будет равен знаменателю, поделенному на НОД числителя и знаменателя.

Вычислим НОД числителя 2018 и знаменателя 2019.
Чтобы найти НОД, мы можем использовать алгоритм Евклида.
\[
\text{НОД}(2018, 2019) = \text{НОД}(2019, 2018 \mod 2019) = \text{НОД}(2019, 1) = 1
\]

Таким образом, НОД числителя 2018 и знаменателя 2019 равен 1.

Теперь вычислим приведенную дробь:
\[
\frac{{2018}}{{2019}} = \frac{{2018/1}}{{2019/1}} = \frac{{1008 \cdot 2}}{{1009 \cdot 1}} = \frac{{2}}{{1009}}
\]

Теперь у нас есть приведенная дробь 2/1009. Теперь мы можем применить правила "сокращения", так как мы знаем, что после 20 таких операций мы получим дробь со знаменателем 1995.

Чтобы найти числитель дроби, полученной после 20 таких операций, мы сначала записываем приведенную дробь 2/1009, а затем последовательно применяем правила "сокращения" 20 раз.

Применение правил "сокращения" к дроби 2/1009:
1. Делим числитель и знаменатель на их НОД: \(\frac{{2/1}}{{1009/1}} = \frac{{2}}{{1009}}\)
2. Повторяем шаг 1: \(\frac{{2/1}}{{1009/1}} = \frac{{2}}{{1009}}\)
...

После применения правил "сокращения" 20 раз, получим дробь со знаменателем 1995.

Таким образом, числитель, полученный после 20 операций "сокращения" дроби 2018/2019 по правилам Васи и Маши, равен 2.

Ответ: 2