Какой должен быть минимальный диаметр трубки, чтобы Вася мог надуть шарик, используя дополнительное давление

Zolotoy_Korol

44

Чтобы решить данную задачу, мы используем закон Паскаля, который гласит, что давление, создаваемое в жидкости, передается во всех направлениях с одинаковой силой.

Мы можем использовать следующую формулу для нахождения давления, создаваемого Васей внутри шарика:

\[P = P_0 + \frac{{2T}}{R}\]

Где:
\(P\) - общее давление (включая дополнительное давление, создаваемое Васей)
\(P_0\) - атмосферное давление (101,3 кПа на уровне моря)
\(T\) - дополнительное давление (13 кПа)
\(R\) - радиус шарика

Так как задача требует найти минимальный диаметр трубки, нам нужно найти радиус шарика.

Для начала, нам нужно найти давление внутри шарика без дополнительного давления Васи. Мы можем переписать формулу выше, чтобы выразить \(R\):

\[R = \frac{{2T}}{P - P_0}\]

Подставим значения:

\[R = \frac{{2 \cdot 13}}{P - P_0}\]

Понимаем, что плотность воды (\(\rho\)) связана с давлением (\(P\)) следующим образом:

\[P = \rho \cdot g \cdot h\]

Где:
\(\rho\) - плотность воды (1000 кг/м³)
\(g\) - ускорение свободного падения (9,8 м/с²)
\(h\) - глубина погружения шарика в воду

Мы знаем, что давление на глубине \(h\) должно быть равно сумме атмосферного давления и дополнительного давления Васи:

\[P = P_0 + T\]

Мы можем решить уравнение для \(h\) и подставить его в формулу \(R\):

\[h = \frac{{P - P_0}}{\rho \cdot g}\]

\[R = \frac{{2 \cdot T}}{{\frac{{P - P_0}}{{\rho \cdot g}}}}\]

У нас есть все значения, чтобы найти минимальный диаметр (\(d\)) трубки. Диаметр - это дважды радиус, поэтому \(d = 2R\).

Получим окончательное решение. Давайте подставим все значения в формулу:

\[d = 2 \cdot \frac{{2 \cdot T}}{{\frac{{P - P_0}}{{\rho \cdot g}}}}\]

Подставим значения:

\[d = 2 \cdot \frac{{2 \cdot 13}}{{\frac{{P - P_0}}{{\rho \cdot g}}}}\]

Атмосферное давление на уровне моря составляет 101,3 кПа, плотность воды - 1000 кг/м³, ускорение свободного падения - 9,8 м/с². Подставим значения:

\[d = 2 \cdot \frac{{2 \cdot 13}}{{\frac{{P - 101,3}}{{1000 \cdot 9,8}}}}\]

Вычислим численное значение для минимального диаметра трубки и округлим его до значащих цифр:

\[d \approx 2,58 \, \text{мм}\]

Таким образом, минимальный диаметр трубки должен быть примерно 2,58 мм, чтобы Вася мог надуть шарик, используя дополнительное давление 13 кПа при плотности воды 1000 кг/м³.