Какой должна быть начальная скорость ракеты с поверхности Луны (Марса), чтобы доставить образцы грунта на Землю?

Karamel

57

Чтобы решить эту задачу, нам потребуется использовать законы движения тела и принцип сохранения энергии. Давайте разберемся в каждом шаге:

Шаг 1: Обозначения
Пусть \( V_1 \) будет начальной скоростью ракеты на поверхности Луны (Марса).
Пусть \( V_2 \) будет конечной скоростью ракеты на поверхности Земли.
Пусть \( g_1 \) будет ускорением свободного падения на Луне (Марсе).
Пусть \( g_2 \) будет ускорением свободного падения на Земле.

Шаг 2: Определение энергии
Мы можем использовать принцип сохранения энергии, чтобы найти начальную скорость ракеты.
На поверхности Луны (Марса) ракета имеет потенциальную энергию, равную \( E_{p1} = mgh_1 \), где \( m \) - масса ракеты, \( h_1 \) - высота над поверхностью Луны (Марса).
Когда ракета достигает Земли, ее потенциальная энергия становится \( E_{p2} = mgh_2 \), где \( h_2 \) - высота над поверхностью Земли.

Шаг 3: Нахождение скорости
Из принципа сохранения энергии: \( E_{p1} + E_{k1} = E_{p2} + E_{k2} \), где \( E_{k1} \) и \( E_{k2} \) - кинетическая энергия ракеты на Луне (Марсе) и на Земле соответственно.
Это можно записать как: \( mgh_1 + \frac{1}{2}mv_1^2 = mgh_2 + \frac{1}{2}mv_2^2 \), где \( v_1 \) - скорость ракеты на Луне (Марсе), \( v_2 \) - скорость ракеты на Земле.

Шаг 4: Учет ускорения свободного падения
Так как ускорение свободного падения на Луне (Марсе) и на Земле различается, то \( g_1 \) и \( g_2 \) не равны друг другу.
Мы можем использовать формулу для ускорения свободного падения \( g = \frac{{GM}}{{r^2}} \), где \( G \) - гравитационная постоянная, \( M \) - масса объекта, привлекающего ракету, \( r \) - расстояние от ракеты до объекта.

Шаг 5: Расчет начальной скорости
Подставим выражения для потенциальной энергии и ускорения свободного падения в уравнение из шага 3:
\( mgh_1 + \frac{1}{2}mv_1^2 = mgh_2 + \frac{1}{2}mv_2^2 \).
Также заменим \( g \) на \( \frac{{GM}}{{r^2}} \):
\( m \cdot \frac{{GM}}{{r_1^2}} \cdot h_1 + \frac{1}{2}mv_1^2 = m \cdot \frac{{GM}}{{r_2^2}} \cdot h_2 + \frac{1}{2}mv_2^2 \).
Масса ракеты \( m \) сокращается:
\( GM \cdot \left( \frac{{h_1}}{{r_1^2}} - \frac{{h_2}}{{r_2^2}} \right) + \frac{1}{2}v_1^2 = \frac{1}{2}v_2^2 \).

Таким образом, начальная скорость ракеты на поверхности Луны (Марса), чтобы доставить образцы грунта на Землю, будет равной:
\[ v_1 = \sqrt{{2 \cdot GM \cdot \left( \frac{{h_2}}{{r_2^2}} - \frac{{h_1}}{{r_1^2}} \right)}} \]

Где \( G \) - гравитационная постоянная (\( 6.67430 \times 10^{-11} \, \text{м}^3/\text{кг}\cdot\text{с}^2 \)), \( M \) - масса Земли (Луны или Марса), \( r_1 \) - радиус Луны (Марса), \( r_2 \) - радиус Земли, \( h_1 \) - высота над поверхностью Луны (Марса), и \( h_2 \) - высота над поверхностью Земли.

Теперь, зная значения всех величин, вы можете подставить их в формулу и вычислить начальную скорость ракеты.