Какой должна быть скорость ботинка, чтобы его запустить на орбиту Земли на расстояние 20 км от поверхности планеты?

Бабочка

46

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать законы движения тел. Наиболее применимым в данном случае является закон сохранения механической энергии.

Зная, что энергия состоит из кинетической и потенциальной энергии, мы можем записать следующее уравнение:
\[E_{\text{кин}} + E_{\text{пот}} = \text{постоянная}\]
Так как ботинок движется только под воздействием силы тяжести и имеет потенциальную энергию, связанную с его положением на высоте, то кинетическая энергия не учитывается.

Потенциальная энергия может быть выражена следующим образом:
\[E_{\text{пот}} = m \cdot g \cdot h\]
где \(m\) - масса ботинка, \(g\) - ускорение свободного падения (приблизительно равно 9,8 м/с²), \(h\) - высота запуска ботинка над поверхностью Земли.

Расстояние от поверхности Земли до орбиты составляет 20 км (или 20000 м), поэтому \(h = 20000\) м.

Теперь мы знаем, что \(E_{\text{пот}}\) это константа, а именно, \(E_{\text{пот}} = m \cdot g \cdot h\). Это позволит нам распределить потенциальную энергию по формуле, а именно, \(m \cdot g \cdot h = \text{const}\).

Зная, что перед запуском ботинок на орбиту его скорость будет равна нулю, мы можем записать закон сохранения энергии, как:
\[E_{\text{кин}} + E_{\text{пот}} = 0 + m \cdot g \cdot h\]

Так как \(E_{\text{кин}} = \frac{1}{2} m \cdot v^2\), где \(v\) - скорость ботинка, и \(E_{\text{пот}} = m \cdot g \cdot h\), мы можем продолжить следующим образом:
\[\frac{1}{2} m \cdot v^2 + m \cdot g \cdot h = m \cdot g \cdot h\]

В данном уравнении \(m\) - масса ботинка находится как сомножитель в каждом слагаемом и сокращается. Это означает, что расчеты не зависят от массы ботинка.

Поэтому мы можем сократить \(m\) и записать:
\[\frac{1}{2} v^2 + g \cdot h = g \cdot h\]

Из этого уравнения можно выразить скорость \(v\):
\[\frac{1}{2} v^2 = g \cdot h\]
\[v^2 = 2 \cdot g \cdot h\]
\[v = \sqrt{2 \cdot g \cdot h}\]

Подставив значения \(g = 9.8\) м/с² и \(h = 20000\) м, мы можем рассчитать скорость \[v\]:
\[v = \sqrt{2 \cdot 9.8 \cdot 20000} \approx 4428.98\] м/с

Если округлить до десятых, то скорость ботинка должна быть около 4428.9 м/с. Так как в задаче нужно указать скорость в км/с, мы можем преобразовать этот ответ:
\[v = 4428.9 \ \text{м/с} \approx 4.4 \ \text{км/с}\]

Таким образом, скорость ботинка должна быть около 4.4 км/с.