Какой из углов в треугольнике MNK с сторонами 10, 14, 18 является наибольшим? В каких градусах он выражается?

Мила

62

Для нахождения наибольшего угла в треугольнике MНК с данными сторонами, мы можем использовать закон косинусов. Этот закон гласит, что для любого треугольника с сторонами a, b и c и соответствующими углами A, B и C, квадрат одной стороны равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих двух сторон и косинуса соответствующего угла:

\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(C)\]

Давайте подставим значения сторон треугольника MНК в формулу и найдем косинус C:

\(c^2 = 10^2 + 14^2 - 2 \cdot 10 \cdot 14 \cdot \cos(C)\)

\(c^2 = 100 + 196 - 280 \cdot \cos(C)\)

\(c^2 = 296 - 280 \cdot \cos(C)\)

Теперь найдем косинус C:

\(280 \cdot \cos(C) = 296 - c^2\)

\(\cos(C) = \frac{{296 - c^2}}{{280}}\)

Используя обратную функцию косинуса, мы можем найти угол C:

\(C = \cos^{-1}\left(\frac{{296 - c^2}}{{280}}\right)\)

Подставим значение стороны c = 18 в формулу:

\(C = \cos^{-1}\left(\frac{{296 - 18^2}}{{280}}\right)\)

\(C = \cos^{-1}\left(\frac{{296 - 324}}{{280}}\right)\)

\(C = \cos^{-1}\left(\frac{{-28}}{{280}}\right)\)

\(C = \cos^{-1}\left(-0.1\right)\)

Таким образом, угол C равен -0.1 радиан или приближенно -5.74 градуса. Отрицательное значение означает, что угол больше 180 градусов и является тупым углом.

Теперь нам остается найти два других угла треугольника. Мы знаем, что сумма всех углов в треугольнике равна 180 градусов. Поэтому, чтобы найти остальные два угла, мы можем использовать следующие формулы:

\(A = \cos^{-1}\left(\frac{{b^2 + c^2 - a^2}}{{2bc}}\right)\)
\(B = \cos^{-1}\left(\frac{{a^2 + c^2 - b^2}}{{2ac}}\right)\)

Подставим значения сторон треугольника MНК в эти формулы:

\(A = \cos^{-1}\left(\frac{{14^2 + 18^2 - 10^2}}{{2 \cdot 14 \cdot 18}}\right)\)

\(B = \cos^{-1}\left(\frac{{10^2 + 18^2 - 14^2}}{{2 \cdot 10 \cdot 18}}\right)\)

Вычислим значения этих углов. Таким образом, наибольший угол в треугольнике MНК будет равен углу А или углу В, в зависимости от того, какой из них окажетсянаибольшим.