Какой изменение индуктивности катушки из колебательного контура необходимо произвести, чтобы период колебаний сделать

Дракон

48

Для решения этой задачи нам потребуется использовать формулу, связывающую период колебаний \(T\) и индуктивность \(L\) катушки в колебательном контуре:

\[T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{C}}\]

где \(T\) - период колебаний, \(\pi\) - математическая константа (приближенно равна 3.14), \(L\) - индуктивность катушки, а \(C\) - емкость конденсатора в контуре. В данной задаче мы хотим изменить индуктивность катушки таким образом, чтобы период колебаний стал \(T_2 = 2 \times 10^{-5}\) секунд.

Для начала, давайте найдем значение индуктивности \(L\) при исходном периоде \(T_1 = 10^{-5}\) секунд. Подставим известные значения в формулу:

\[T_1 = 2\pi \sqrt{\frac{L}{C}}\]

Разделим обе части уравнения на \(2\pi\) и возведем в квадрат:

\[\left(\frac{T_1}{2\pi}\right)^2 = \frac{L}{C}\]

Теперь умножим обе части уравнения на \(C\) и получим:

\[L = C \left(\frac{T_1}{2\pi}\right)^2\]

Сейчас мы можем подставить известные значения. Для удобства примем, что \(C = 1\) (емкость конденсатора равна 1 Фарад) без потери общности:

\[L = \left(\frac{10^{-5}}{2\pi}\right)^2 = \left(\frac{1}{2\pi \times 10^5}\right)^2\]

Вычислим это значение:

\[L = \frac{1}{(2\pi \times 10^5)^2} = \frac{1}{4\pi^2 \times 10^{10}} = \frac{1}{4 \times 9.87 \times 10^{10}} \approx 8 \times 10^{-13}\]

Теперь у нас есть значение индуктивности \(L\) при исходном периоде \(T_1\).

Чтобы период колебаний стал равным \(T_2 = 2 \times 10^{-5}\) секунд, нам нужно найти новое значение индуктивности \(L_2\). Для этого мы можем изменить значение емкости, индуктивности или оба значения.

Так как мы хотим изменить только индуктивность, используем формулу:

\[T_2 = 2\pi \sqrt{\frac{L_2}{C}}\]

Разделим обе части уравнения на \(2\pi\) и возведем в квадрат:

\[\left(\frac{2 \times 10^{-5}}{2\pi}\right)^2 = \frac{L_2}{C}\]

Исходя из того, что \(C = 1\), получим:

\[\left(\frac{10^{-5}}{\pi}\right)^2 = L_2\]

Рассчитаем это значение:

\[L_2 = \left(\frac{10^{-5}}{\pi}\right)^2 = \left(\frac{1}{\pi \times 10^5}\right)^2 = \frac{1}{\pi^2 \times 10^{10}}\]

Вычислим это значение:

\[L_2 = \frac{1}{\pi^2 \times 10^{10}} \approx \frac{1}{9.87 \times 10^{10}} \approx 1 \times 10^{-11}\]

Теперь у нас есть новое значение индуктивности \(L_2\), которое необходимо получить.

Чтобы найти изменение индуктивности \(\Delta L\), вычитаем значение \(L\):

\[\Delta L = L_2 - L = 1 \times 10^{-11} - 8 \times 10^{-13}\]

Вычисляем это значение:

\[\Delta L = 1 \times 10^{-11} - 8 \times 10^{-13} = 0.99 \times 10^{-11} \]

Итак, чтобы сделать период колебаний равным \(T_2 = 2 \times 10^{-5}\) секунд, необходимо увеличить индуктивность катушки на \(0.99 \times 10^{-11}\) Гн.