какой многочлен можно записать, чтобы его корни были обратными корням многочлена х3-6х2+12х-18, и при этом коэффициент

Plyushka

27

Хорошо, чтобы найти многочлен, у которого корни являются обратными корням многочлена \(x^3 - 6x^2 + 12x - 18\), мы можем использовать следующий подход:

1. Найдём обратные корни. Обратным корнем числа \(a\) называется число \(\frac{1}{a}\). Следовательно, чтобы найти обратные корни многочлена, нам нужно взять обратные значения для каждого из его корней.

Многочлен \(x^3 - 6x^2 + 12x - 18\) имеет корни \(a_1\), \(a_2\) и \(a_3\).

Обратные корни находятся по формуле: \(\frac{1}{a_1}\), \(\frac{1}{a_2}\) и \(\frac{1}{a_3}\).

2. Найдём новый многочлен на основе обратных корней. Чтобы новый многочлен имел заданные обратные корни, мы можем использовать следующую формулу:

\((x - \frac{1}{a_1})(x - \frac{1}{a_2})(x - \frac{1}{a_3})\)

где \(a_1\), \(a_2\) и \(a_3\) - корни исходного многочлена \(x^3 - 6x^2 + 12x - 18\).

3. Упростим новый многочлен и проверим, что коэффициент при \(x^2\) остается неизменным. Для этого разложим многочлен на множители и выполним умножение:

\(x - \frac{1}{a_1}\) разложим на множители как \(x - a_1\), так как обратный корень для \(a_1\) это \(\frac{1}{a_1}\).

Таким образом, новый многочлен будет выглядеть следующим образом:

\((x - a_1)(x - a_2)(x - a_3)\)

4. Проверим коэффициент при \(x^2\). Обратимся к разложению нового многочлена на множители. Заметим, что при раскрытии скобок будут присутствовать слагаемые с \(x^2\). Чтобы найти коэффициент при \(x^2\), мы будем перемножать два разных множителя и смотреть на коэффициент при \(x^2\) в каждом слагаемом. Если \(a_1\), \(a_2\) и \(a_3\) - корни исходного многочлена, то результатом умножения множителей \((x - a_1)\), \((x - a_2)\) и \((x - a_3)\) будет многочлен следующего вида:

\[(x^2 - (a_1+a_2)x + a_1a_2)(x-a_3)\]

5. Сделаем проверку. Мы видим, что подобный новому многочлену коэффициент при \(x^2\) равен \(-(a_1+a_2)a_3 + a_1a_2\). Если этот коэффициент равен коэффициенту при \(x^2\) исходного многочлена, то мы получили правильный ответ.

Таким образом, многочлен, у которого корни являются обратными корням многочлена \(x^3 - 6x^2 + 12x - 18\) и при этом коэффициент при \(x^2\) остается таким же, будет:

\[(x^3 - (a_1+a_2)x^2 + a_1a_2x - a_1a_2a_3)\]

где \(a_1\), \(a_2\) и \(a_3\) - корни исходного многочлена \(x^3 - 6x^2 + 12x - 18\).