Какой набор птиц будет равновесным для торговца в условиях задачи, где его бюджет составляет 4 доллара, а цены на птиц

Lebed

19

Для решения данной задачи, нам нужно найти такой набор птиц, который будет равновесным для торговца при заданном бюджете и ценах на птицы.

Давайте рассмотрим таблицу Менгера, в которой представлены предельные полезности каждой птицы:

\[
\begin{{array}}{{cccc}}
\text{{Птица}} & \text{{MU1}} & \text{{MU2}} & \text{{MU3}} \\
\text{{Гусь}} & 10 & 8 & 5 \\
\text{{Утка}} & 14 & 12 & 10 \\
\text{{Курица}} & 16 & 15 & 12 \\
\text{{Фазан}} & 20 & 18 & 12 \\
\end{{array}}
\]

Таблица MU1 показывает предельную полезность первой птицы (гуся), таблица MU2 - предельную полезность второй птицы (утки), и аналогично для других птиц.

Теперь посмотрим на предпочтения торговца в отношении каждого вида птицы:

\[
\begin{{array}}{{cccc}}
\text{{Птица}} & \text{{MU1}} & \text{{MU2}} & \text{{MU3}} \\
\text{{Гусь}} & 4 & 3 & 2 \\
\text{{Утка}} & 3 & 2 & 1 \\
\text{{Курица}} & 2 & 1 & 4 \\
\text{{Фазан}} & 1 & 4 & 3 \\
\end{{array}}
\]

Таблица предпочтений показывает, какие птицы торговец считает более предпочтительными при заданных предельных полезностях.

Теперь давайте перейдем к решению задачи. Чтобы найти равновесный набор птиц, мы должны соблюсти два условия: сумма цен на птиц должна равняться бюджету, и предпочтения торговца должны быть удовлетворены.

У нас есть 4 доллара на бюджет, и цены на птицы составляют 1 доллар за гуся, утку и курицу, и 2 доллара за фазана. Пусть \(x\) - количество гусей, \(y\) - количество уток, \(z\) - количество кур, \(w\) - количество фазанов.

Используя условие бюджета, мы можем записать уравнение:

\[1x + 1y + 1z + 2w = 4\]

Чтобы удовлетворить предпочтения торговца, мы должны сравнить предельные полезности каждой птицы и установить соответствующие ограничения.

Для гуся, утки, курицы и фазана, соответственно, у нас должны быть ограничения:

\[10x > 14y, \quad 10x > 16z, \quad 10x > 20w\]
\[8x > 12y, \quad 8x > 15z, \quad 8x > 18w\]
\[5x > 10y, \quad 5x > 12z, \quad 5x > 12w\]

Теперь у нас есть система уравнений, которую мы можем решить для нахождения равновесного набора птиц.

Решение этой системы уравнений приведет к определенным значениям для \(x\), \(y\), \(z\) и \(w\).

Давайте решим систему уравнений и найдем равновесный набор птиц.