Какой объем имеет правильная прямоугольная призма, если провести сечение через сторону нижнего основания и середину

Karnavalnyy_Kloun

31

Данная задача относится к геометрии. Для нахождения объема правильной прямоугольной призмы, необходимо знать площадь ее сечения и некоторые характеристики фигуры.

В данном случае площадь сечения равна \(4\sqrt{6}\, \text{см}^2\). Но перед тем как решать задачу, давайте разберемся, какое сечение задано.

Сечение проведено через сторону нижнего основания, то есть мы имеем дело с прямоугольником. Плоскость сечения также наклонена под углом 45º к плоскости основания.

Теперь перейдем к решению задачи. Для начала найдем длину и ширину прямоугольника, представляющего собой сечение призмы.

Так как сечение проходит через сторону нижнего основания, то длина прямоугольника равна длине основания призмы. Обозначим ее как \(a\). Также обозначим ширину прямоугольника как \(b\).

Так как плоскость сечения наклонена под углом 45º к плоскости основания, то у нас имеется прямоугольный треугольник со сторонами \(a\), \(b\) и \(\sqrt{a^2 + b^2}\), где гипотенуза треугольника равна длине противолежащего бокового ребра призмы.

Таким образом, получаем следующее уравнение:

\[\sqrt{a^2 + b^2} = 2\sqrt{6}\, \text{см}\]

Для того чтобы найти длину и ширину прямоугольника, возводим это уравнение в квадрат:

\[a^2 + b^2 = (2\sqrt{6})^2 = 24\, \text{см}^2\]

В данном случае нам известна площадь сечения прямоугольника, которая равна \(4\sqrt{6}\, \text{см}^2\). Площадь прямоугольника вычисляется как произведение его длины и ширины:

\[\text{Площадь прямоугольника} = a \cdot b = 4\sqrt{6}\, \text{см}^2\]

Итак, у нас имеется система уравнений:

\[\begin{cases}
a^2 + b^2 = 24\\
a \cdot b = 4\sqrt{6}
\end{cases}\]

Решим данную систему уравнений. Воспользуемся методом подстановки:

Из второго уравнения найдем значения одной переменной через другую переменную:

\[a = \frac{4\sqrt{6}}{b}\]

Подставим это значение в первое уравнение:

\[\left(\frac{4\sqrt{6}}{b}\right)^2 + b^2 = 24\]

Упростим выражение:

\[\frac{16 \cdot 6}{b^2} + b^2 = 24\]

Умножаем все члены уравнения на \(b^2\):

\[16 \cdot 6 + b^4 = 24b^2\]

Перепишем уравнение в виде квадратного уравнения:

\[b^4 - 24b^2 + 16 \cdot 6 = 0\]

Решим это квадратное уравнение для переменной \(b\):

\[b^2 = \frac{24 \pm \sqrt{24^2 - 4 \cdot 16 \cdot 6}}{2}\]

\[b^2 = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 384}}{2}\]

\[b^2 = \frac{24 \pm \sqrt{192}}{2}\]

\[b^2 = \frac{24 \pm 8\sqrt{3}}{2}\]

\[b^2 = 12 \pm 4\sqrt{3}\]

Так как \(b\) - это длина прямоугольника, то его длина не может быть отрицательной. Поэтому выбираем положительное значение:

\[b^2 = 12 + 4\sqrt{3}\]

Извлечем корень из обоих частей уравнения:

\[b = \sqrt{12 + 4\sqrt{3}}\]

Теперь найдем значение переменной \(a\) с помощью второго уравнения:

\[a = \frac{4\sqrt{6}}{b}\]

Подставим значение \(b\):

\[a = \frac{4\sqrt{6}}{\sqrt{12 + 4\sqrt{3}}}\]

Чтобы упростить это выражение, умножим его на 1, чтобы избавиться от дроби в знаменателе:

\[a = \frac{4\sqrt{6}}{\sqrt{12 + 4\sqrt{3}}} \cdot \frac{\sqrt{12 - 4\sqrt{3}}}{\sqrt{12 - 4\sqrt{3}}}\]

\[a = \frac{4\sqrt{6} \cdot \sqrt{12 - 4\sqrt{3}}}{\sqrt{12^2 - (4\sqrt{3})^2}}\]

\[a = \frac{4\sqrt{6} \cdot \sqrt{12 - 4\sqrt{3}}}{\sqrt{144 - 48}}\]

\[a = \frac{4\sqrt{6} \cdot \sqrt{12 - 4\sqrt{3}}}{\sqrt{96}}\]

\[a = \frac{4\sqrt{6} \cdot \sqrt{12 - 4\sqrt{3}}}{\sqrt{96}}\cdot\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}\]

\[a = \frac{4 \cdot \sqrt{6^2} \cdot \sqrt{12 - 4\sqrt{3}}}{\sqrt{96 \cdot 6}}\]

\[a = \frac{4 \cdot 6 \cdot \sqrt{12 - 4\sqrt{3}}}{\sqrt{96 \cdot 6}}\]

\[a = \frac{24 \cdot \sqrt{12 - 4\sqrt{3}}}{\sqrt{96 \cdot 6}}\]

\[a = \frac{4\sqrt{6} \cdot \sqrt{12 - 4\sqrt{3}}}{4 \cdot \sqrt{6}}\]

\[a = \sqrt{12 - 4\sqrt{3}}\]

Таким образом, мы нашли значения длины и ширины прямоугольника, представляющего собой сечение призмы:

\[a = \sqrt{12 - 4\sqrt{3}}\, \text{см}\]
\[b = \sqrt{12 + 4\sqrt{3}}\, \text{см}\]

Теперь, чтобы найти объем призмы, умножим площадь одного из оснований на высоту призмы. Поскольку это правильная призма, то высота равна высоте сечения, что равно длине противолежащего бокового ребра.

Таким образом, объем можно вычислить следующим образом:

\[\text{Объем правильной призмы} = (\text{Площадь основания}) \times (\text{Высота}) = (a \times b) \times 2\sqrt{6}\, \text{см}^3\]

Подставляем значения \(a\) и \(b\), полученные ранее:

\[\text{Объем правильной призмы} = (\sqrt{12 - 4\sqrt{3}} \times \sqrt{12 + 4\sqrt{3}}) \times 2\sqrt{6}\, \text{см}^3\]

Но сначала упростим этот результат:

\[\sqrt{12 - 4\sqrt{3}} \times \sqrt{12 + 4\sqrt{3}} = \sqrt{(12 - 4\sqrt{3})(12 + 4\sqrt{3})}\]

Воспользуемся тождеством \(a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)\), чтобы упростить это выражение:

\[(12 - 4\sqrt{3})(12 + 4\sqrt{3}) = 12^2 - (4\sqrt{3})^2\]

\[= 144 - 48\]

\[= 96\]

Таким образом, объем правильной призмы равен:

\[\text{Объем правильной призмы} = \sqrt{96} \times 2\sqrt{6}\, \text{см}^3\]

Упрощаем корень:

\[\sqrt{96} = \sqrt{16 \times 6} = 4\sqrt{6}\]

Получаем окончательное значение:

\[\text{Объем правильной призмы} = 4\sqrt{6} \times 2\sqrt{6} = 8 \cdot 6 = 48\, \text{см}^3\]

Таким образом, объем правильной прямоугольной призмы, если провести сечение через сторону нижнего основания и середину противолежащего бокового ребра, а плоскость сечения будет наклонена к плоскости основания под углом 45º, и площадь сечения равна \(4\sqrt{6}\, \text{см}^2\), составляет \(48\, \text{см}^3\).