Какой периметр треугольника ∆ABC, если медиана BM равна 8 см, AC равно 10 см и BC равно 1,2 раза

Romanovich

9

Периметр треугольника можно найти, сложив длины всех его сторон. Для решения этой задачи, нам необходимо найти длину сторон треугольника ∆ABC.

Дано, что медиана BM равна 8 см. Медиана треугольника – это отрезок, соединяющий середину стороны треугольника со вершиной, противолежащей этой стороне. В данной задаче, медиана BM соединяет середину стороны AC с вершиной B.

Мы также знаем, что AC равно 10 см, а BC равно 1,2 раза длины BM. Для нахождения длины стороны BC нам нужно найти 1,2 от длины BM.

Пусть длина BM равна x см. Тогда длина BC будет равна 1,2x см.

Используя теорему Пифагора в треугольнике ABC, мы можем определить длину стороны AB. Теорема Пифагора гласит: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Стороны треугольника, в данном случае, не являются гипотенузой и катетами, но мы все равно можем использовать эту теорему в треугольнике ABC. Сторона BC является основанием, сторона AC является высотой, и медиана BM является отрезком, делящим медиану в отношении 2:1.

Теперь мы можем записать уравнение, используя теорему Пифагора:
\[AB^2 = BC^2 + AC^2\]

Давайте заменим значения, которые мы знаем:
\[AB^2 = (1,2x)^2 + 10^2\]

Разделим эту формулу на длину стороны AB для удобства:
\[\frac{AB^2}{AB} = \frac{(1,2x)^2}{AB} + \frac{10^2}{AB}\]

Сократим:
\[AB = 1,2x + \frac{100}{AB}\]

Теперь мы можем найти длину стороны AB, решив это уравнение.

Так как у нас недостаточно информации о треугольнике, чтобы определить точное значение AB, мы можем записать его в общем виде, используя переменную a:
\[AB = a\]

Теперь мы можем записать:
\[a = 1,2x + \frac{100}{a}\]

Умножим обе части уравнения на a, чтобы избавиться от знаменателя:
\[a^2 = 1,2ax + 100\]

Это квадратное уравнение можно решить с помощью стандартных методов. Я решу его для вас и найду значение a:

\[a^2 - 1,2ax - 100 = 0\]

Корни этого уравнения дают нам два возможных значения стороны AB. Выберем положительное значение, так как длина стороны не может быть отрицательной.

\[a_1 = \frac{1,2x + \sqrt{(1,2x)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-100)}}{2}\]

Теперь мы можем найти периметр треугольника, сложив длины его сторон:

\[P = AB + BC + AC = a_1 + 1,2x + 10\]

Таким образом, периметр треугольника ∆ABC равен \(P = a_1 + 1,2x + 10\) сантиметров.