Какой период и амплитуда вертикальных колебаний системы, если груз массой 0,4 кг подвешен на пружине с жесткостью

Morskoy_Kapitan

58

Для решения данной задачи, мы можем использовать формулы, связанные с колебаниями на пружине.

Период колебаний (T) является временем, которое требуется системе для совершения одного полного колебания. Он может быть вычислен по формуле:

\[T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}\]

где \(m\) - масса груза, \(k\) - жесткость пружины, а \(\pi\) - математическая константа, равная приближенно 3,14.

Для нахождения амплитуды колебаний (A), мы можем использовать понятие потенциальной и кинетической энергии системы. Изначально, груз оттягивается от положения равновесия на 22 см и получает начальную скорость 2,1 м/с. Мы можем использовать законы сохранения энергии для нахождения амплитуды:

\[A = \frac{v_0^2}{\omega^2}\]

где \(v_0\) - начальная скорость груза, а \(\omega\) - угловая скорость колебаний. Угловая скорость может быть вычислена следующим образом:

\[\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}\]

Давайте подставим значения и рассчитаем результаты.

Масса груза (m) = 0,4 кг
Жесткость пружины (k) = 45 Н/м
Отклонение от положения равновесия (A) = 22 см = 0,22 м
Начальная скорость (v₀) = 2,1 м/с
Математическая константа (π) = 3,14

Для расчета периода (T):

\[
T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} = 2 \cdot 3,14 \cdot \sqrt{\frac{0,4}{45}} \approx 2,033 \, \text{сек}
\]

Для расчета амплитуды (A):

\[
\omega = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{45}{0,4}} = \sqrt{112,5} \approx 10,61
\]

\[
A = \frac{v_0^2}{\omega^2} = \frac{2,1^2}{10,61^2} \approx 0,038 \, \text{м}
\]

Таким образом, период колебаний составляет примерно 2,033 секунды, а амплитуда колебаний примерно 0,038 метра. Ответ округляем до сотых.