Какой провод потребуется в меньшем количестве, чтобы создать линию электропередачи, если электрическое сопротивление

Arina

11

Для решения этой задачи нам нужно сравнить провода из меди и алюминия и определить, какой из них потребуется в меньшем количестве.

1. Начнем с определения сопротивления провода. Сопротивление провода можно выразить через его удельное сопротивление \(\rho\), его длину \(L\) и сечение поперечное площади провода \(A\), используя формулу:

\[R = \frac{{\rho \cdot L}}{{A}}\]

где \(R\) - сопротивление провода.

2. Поскольку условие говорит, что сопротивление должно быть одинаковым в обоих случаях, мы можем записать уравнения для медной и алюминиевой линий электропередачи:

Для медной линии электропередачи:
\[R_\text{меди} = \frac{{\rho_\text{меди} \cdot L_\text{меди}}}{{A_\text{меди}}}\]

Для алюминиевой линии электропередачи:
\[R_\text{алюминия} = \frac{{\rho_\text{алюминия} \cdot L_\text{алюминия}}}{{A_\text{алюминия}}}\]

где \(R_\text{меди}\) и \(R_\text{алюминия}\) - сопротивления меди и алюминия соответственно, \(\rho_\text{меди}\) и \(\rho_\text{алюминия}\) - удельные сопротивления меди и алюминия соответственно, \(L_\text{меди}\) и \(L_\text{алюминия}\) - длины медной и алюминиевой линий электропередачи соответственно, \(A_\text{меди}\) и \(A_\text{алюминия}\) - поперечные площади медной и алюминиевой линий электропередачи соответственно.

3. Сопротивление должно быть одинаковым, поэтому уравнения можно приравнять:

\[\frac{{\rho_\text{меди} \cdot L_\text{меди}}}{{A_\text{меди}}} = \frac{{\rho_\text{алюминия} \cdot L_\text{алюминия}}}{{A_\text{алюминия}}}\]

4. Чтобы определить, какой провод потребуется в меньшем количестве, мы можем сравнить отношения \(\frac{{L_\text{меди}}}{{A_\text{меди}}}\) и \(\frac{{L_\text{алюминия}}}{{A_\text{алюминия}}}\). Если отношение медной линии электропередачи меньше, то нам потребуется меньше провода из меди. Если отношение алюминиевой линии электропередачи меньше, то нам потребуется меньше провода из алюминия.

Для удобства вычислений подставим известные значения в формулу, используя удельные сопротивления и плотности:

\[\frac{{L_\text{меди}}}{{A_\text{меди}}} = \frac{{L_\text{алюминия}}}{{A_\text{алюминия}}} = \frac{{\rho_\text{алюминия} \cdot \frac{{L_\text{меди}}}{\rho_\text{меди}}}}{{A_\text{алюминия}}}\]
\[\frac{{L_\text{меди}}}{{A_\text{меди}}} = \frac{{\frac{{\rho_\text{алюминия}}}{{\rho_\text{меди}}} \cdot L_\text{меди}}}{{A_\text{алюминия}}}\]

5. Распишем поперечную площадь провода через его диаметр \(d\):

\[A = \pi \left(\frac{{d}}{2}\right)^2\]

6. Подставим это значение в уравнение:

\[\frac{{L_\text{меди}}}{{\pi \left(\frac{{d_\text{меди}}}{2}\right)^2}} = \frac{{\frac{{\rho_\text{алюминия}}}{{\rho_\text{меди}}} \cdot L_\text{меди}}}{{\pi \left(\frac{{d_\text{алюминия}}}{2}\right)^2}}\]

7. Приравняем и выразим диаметр алюминиевого провода через диаметр медного провода:

\[\left(\frac{{d_\text{меди}}}{d_\text{алюминия}}\right)^2 = \frac{{\rho_\text{алюминия}}}{{\rho_\text{меди}}}\]

8. Возьмем квадратный корень из обеих частей уравнения:

\[\frac{{d_\text{меди}}}{d_\text{алюминия}} = \sqrt{\frac{{\rho_\text{алюминия}}}{{\rho_\text{меди}}}}\]

9. Решим это уравнение относительно диаметра медного провода:

\[d_\text{меди} = d_\text{алюминия} \cdot \sqrt{\frac{{\rho_\text{алюминия}}}{{\rho_\text{меди}}}}\]

Теперь у нас есть уравнение для связи диаметров проводов из меди и алюминия. Если вам нужно определить, какой провод потребуется в меньшем количестве, вы можете сравнить диаметры проводов и выбрать тот, который имеет меньший диаметр. Remember to include appropriate units and round your final answer to the appropriate number of significant figures.