Какой путь является более кратким для перемещения между домами: по дуге окружности (синий путь) или через центр

Magicheskiy_Samuray

24

Чтобы определить, какой путь является более кратким для перемещения между домами - по дуге окружности или через центр окружности, рассмотрим геометрические особенности задачи.

\[
\begin{array}{l}
\text{Обозначим:} \\
A - \text{дом, от которого требуется перейти к другому дому} \\
B - \text{дом, в который требуется перейти} \\
O - \text{центр окружности} \\
P - \text{точка пересечения дуги окружности и прямой, соединяющей дома} \\
r - \text{радиус окружности} \\
AB - \text{расстояние от дома A до дома B} \\
AP + PB - \text{расстояние, пройденное при движении по дуге окружности} \\
AO + OP + PB - \text{расстояние, пройденное при движении через центр окружности}
\end{array}
\]

Затем, воспользуемся геометрическими свойствами окружности.
\begin{itemize}
\item Теорема о центральном угле утверждает, что центральный угол окружности, опирающийся на дугу, равен удвоенному углу, образованному хордой, соединяющей концы дуги.
\item Также известно, что длина дуги окружности линейно зависит от величины угла между концами дуги и центром окружности.
\end{itemize}

Теперь рассмотрим каждый из путей более подробно.

1. Путь по дуге окружности (синий путь).
Длина дуги окружности, которую нужно пройти, может быть выражена через центральный угол \( \theta \) между точками A и B:
\[ AP + PB = r \cdot \theta \]

2. Путь через центр окружности (зеленый путь).
Длина этого пути складывается из расстояний AO (радиус окружности) и OP (отрезок, проведенный от центра окружности до точки пересечения):
\[ AO + OP + PB = r + OP + PB \]

Осталось определить угол \( \theta \).
\begin{itemize}
\item Для этого нам понадобится построить прямую, соединяющую концы дуги и проходящую через центр окружности. Обозначим точку пересечения этой прямой и дуги как P.
\item Заметим, что AO и OP являются радиусами окружности и имеют одинаковую длину \( r \).
\item Также обратим внимание, что треугольник APO является равнобедренным. Потому что стороны AO и OP равны друг другу (они равны радиусам окружности) и вершина угла находится на дуге, которая также равна радиусу. Таким образом, у нас есть две равные стороны и равный угол между ними.
\end{itemize}

На основании свойств равнобедренного треугольника, можем заключить, что угол AOP (обозначим его как \( \theta \)) равен половине центрального угла, то есть \( \frac{\theta}{2} \).
Таким образом, можно заменить \( \theta \) на \( 2 \cdot \frac{\theta}{2} \) в выражениях длин путей.

Сравним оба пути:
\begin{itemize}
\item Путь по дуге окружности (синий путь): \( AP + PB = r \cdot \theta \)
\item Путь через центр окружности (зеленый путь): \( AO + OP + PB = r + OP + PB \)
\end{itemize}

Теперь сравним длины путей:
\[
\begin{align*}
AP + PB &\stackrel{?}{<} AO + OP + PB \\
r \cdot \theta &\stackrel{?}{<} r + OP + PB
\end{align*}
\]

Так как радиус окружности \( r \) положительный и его можно вынести за скобки, получим:
\[
\begin{align*}
\theta &\stackrel{?}{<} 1 + \frac{OP}{r} + \frac{PB}{r} \\
\theta &\stackrel{?}{<} 1 + \frac{OP + PB}{r}
\end{align*}
\]

Теперь сравним последние два слагаемых:
\[
\begin{align*}
\frac{OP + PB}{r} &\stackrel{?}{>} 1
\end{align*}
\]

Нам уже известно, что \( OP + PB \) является длиной хорды, соединяющей точки A и B.

Важно отметить, что при увеличении длины хорды, увеличивается и соответствующий ей центральный угол.

Таким образом, угол \( \theta \) будет наименьшим при наибольшей длине хорды (т.е. когда прямая AB проходит через центр окружности), что делает путь через центр окружности более кратким.

Таким образом, ответ на задачу состоит в том, что путь через центр окружности является более кратким для перемещения между домами, поскольку он имеет меньшую длину, чем путь по дуге окружности.