Какой радиус у диска, если масса диска составляет m, а его радиус R? Диск может вращаться в вертикальной плоскости
Какой радиус у диска, если масса диска составляет m, а его радиус R? Диск может вращаться в вертикальной плоскости вокруг горизонтальной оси, проходящей через его край О. В этой же плоскости движется маленький пластилиновый шарик массой m, который движется под углом а к вертикали со скоростью v. Шарик прилипает к нижней точке висящего неподвижно диска, и система начинает вращаться с угловой скоростью . Необходимо найти радиус диска при известных значениях m (6 кг), угловой скорости (7 рад/с), скорости в (8 м/с) и угле a (30 градусов).
Заблудший_Астронавт 38
Чтобы найти радиус диска, мы можем использовать законы сохранения энергии и момента импульса.В данной задаче у нас есть два тела: диск и пластилиновый шарик. Пластилиновый шарик движется по кривой траектории и прилипает к нижней точке диска. Таким образом, можно сказать, что при этом момент импульса системы сохраняется.
Запишем закон сохранения момента импульса:
\(mvr = I\omega\),
где \(m\) - масса шарика, \(v\) - его скорость, \(r\) - радиус диска, \(I\) - момент инерции диска и \(\omega\) - угловая скорость вращения системы.
Выразим момент инерции диска через его массу и радиус:
\(I = \frac{1}{2}mR^2\).
Также, можно записать закон сохранения энергии:
\(E_{\text{нач}} = E_{\text{кон}}\),
где \(E_{\text{нач}}\) - начальная энергия системы и \(E_{\text{кон}}\) - конечная энергия системы.
Начальная энергия системы состоит из кинетической энергии шарика и кинетической энергии вращения диска:
\(E_{\text{нач}} = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2\).
Конечная энергия системы состоит только из кинетической энергии вращения диска:
\(E_{\text{кон}} = \frac{1}{2}I\omega"^2\).
Так как пластилиновый шарик прилипает к нижней точке диска, его линейная скорость равна нулю (\(v" = 0\)). Поэтому, конечная угловая скорость равна начальной угловой скорости (\(\omega" = \omega\)).
Теперь, подставим полученные выражения для момента импульса и энергии в сохранение момента импульса:
\(mvr = \frac{1}{2}mR^2\omega\).
Также, подставим энергии в сохранение энергии:
\(\frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2 = \frac{1}{2}I\omega^2\).
Упростим:
\(mvr = \frac{1}{2}mR^2\omega\),
\(mv = \frac{1}{2}R^2\omega\).
Теперь, найдём радиус диска:
\(R^2 = \frac{2mv}{\omega}\),
\(R = \sqrt{\frac{2mv}{\omega}}\).
Подставив известные значения \(m = 6 \, \text{кг}\), \(v = 8 \, \text{м/с}\) и \(\omega = 7 \, \text{рад/с}\), получим:
\(R = \sqrt{\frac{2 \cdot 6 \cdot 8}{7}} \approx 4.60 \, \text{м}\).
Таким образом, радиус диска составляет примерно \(4.60\) метров.