Какой радиус у окружности, которая касается сторон квадрата ABCD в вершинах B и D (с центром в точке A) и делит стороны

Skvoz_Tmu

17

Пусть сторона квадрата ABCD равна \(a\).

Так как окружность касается сторон квадрата в вершинах B и D, то ее центр должен лежать на отрезке BD, и быть перпендикулярным к этому отрезку. Для определения радиуса окружности, давайте сначала найдем длину отрезка BD.

Отношение сторон квадрата равно \(BD:KL:LM = 3:2:1\). Поскольку KL и LM делятся на равные части, их длины будут равны \(2a/3\) и \(a/3\) соответственно.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник ABD. В этом треугольнике сторона AB равна \(a\), а сторона AD равна \(2a/3\). Используя теорему Пифагора для прямоугольного треугольника ABD, получим:

\((2a/3)^2 + a^2 = BD^2\)

\((4a^2/9) + a^2 = BD^2\)

\((13a^2/9) = BD^2\)

Отсюда можно найти длину отрезка BD:

\(BD = \sqrt{(13a^2/9)}\)

Так как радиус окружности является перпендикуляром к отрезку BD и пополам его длины, радиус окружности равен:

\(r = \frac{{\sqrt{(13a^2/9)}}}{2} = \frac{{\sqrt{13} \cdot a}}{6}\)

Таким образом, радиус окружности, удовлетворяющей условиям задачи, равен \(\frac{{\sqrt{13} \cdot a}}{6}\).