Какой ширины ущелье, если поезд дал гудок на станции в долине между двумя горными хребтами? Пассажиры услышали первое

Vladimirovich

51

Для решения данной задачи нам необходимо рассмотреть каждый этап прохождения звука и использовать известные данные для определения ширины ущелья.

Пусть \( t_1 \) - время прохождения звука от поезда до стены ущелья, \( t_2 \) - время прохождения звука от стены ущелья до обратной отраженной стены, а \( t_3 \) - время прохождения звука от обратной стены до поезда. Из условия задачи у нас есть следующие данные:

1) Пассажиры услышали первое эхо через 2 секунды после гудка. Это значит, что время, за которое звук достиг стены и вернулся, равно 2 секундам:

\[ t_1 + t_3 = 2 \] (уравнение 1)

2) Время между первым и вторым эхом вдвое больше, чем между вторым и третьим эхами:

\[ t_2 = 2(t_1 - t_3) \] (уравнение 2)

Теперь мы можем решить систему уравнений (1) и (2), чтобы определить значения переменных \( t_1 \), \( t_2 \) и \( t_3 \).

\[ t_1 + t_3 = 2 \] (уравнение 3)
\[ t_2 = 2(t_1 - t_3) \] (уравнение 4)

Решим систему уравнений:

\[ t_1 + t_3 = 2 \]
\[ t_2 = 2t_1 - 2t_3 \]

Преобразуем уравнение (3):

\[ t_1 = 2 - t_3 \]

Подставим это значение в уравнение (4):

\[ t_2 = 2(2 - t_3) - 2t_3 \]
\[ t_2 = 4 - 2t_3 - 2t_3 \]
\[ t_2 = 4 - 4t_3 \]

Теперь мы можем записать систему уравнений с одной переменной:

\[ t_1 = 2 - t_3 \] (уравнение 5)
\[ t_2 = 4 - 4t_3 \] (уравнение 6)

Для решения этой системы уравнений, предлагаю:

1) Подставить выражение для \( t_1 \) из уравнения (5) в уравнение (1):

\[ 2 - t_3 + t_3 = 2 \]
\[ 2 = 2 \]

Уравнение (5) не дает дополнительной информации, оно всегда выполняется. Поэтому оно не может быть использовано для определения ширины ущелья.

2) Подставить выражение для \( t_2 \) из уравнения (6) в уравнение (2):

\[ 4 - 4t_3 = 2(2 - t_3) \]
\[ 4 - 4t_3 = 4 - 2t_3 \]
\[ -4t_3 + 2t_3 = 4 - 4 \]
\[ -2t_3 = 0 \]
\[ t_3 = 0 \]

Теперь мы можем найти \( t_1 \) и \( t_2 \) с использованием уравнений (5) и (6) соответственно:

\[ t_1 = 2 - t_3 = 2 - 0 = 2 \]
\[ t_2 = 4 - 4t_3 = 4 - 4(0) = 4 \]

Теперь мы можем использовать время \( t_1 \) для определения ширины ущелья. Формула для расчета расстояния на основе времени звука и скорости звука \( v \) такая:

\[ s = v \cdot t \]

Где \( s \) - расстояние, \( v \) - скорость звука и \( t \) - время прохождения звука. Подставим значения в формулу:

\[ s = 330 \cdot 2 = 660 \, \text{м} \]

Таким образом, ширина ущелья равна 660 метрам. Ответ: 660 метров.