Какой угол образуют векторы AB в пространстве, если известны координаты точек A (6; -6; 8) и B (8

David_3855

45

Для решения этой задачи нам понадобятся координаты векторов \(\overrightarrow{AB}\). Для этого мы вычислим разности координат x, y и z между точкой A и точкой B.

У нас есть точка A с координатами (6, -6, 8) и точка B с координатами (8, 4, -7). Чтобы найти вектор \(\overrightarrow{AB}\), вычтем координаты точки A из координат точки B:

\[
\overrightarrow{AB} = (x_A - x_B, y_A - y_B, z_A - z_B)
\]

Вычисляя разности координат, получим:

\[
\overrightarrow{AB} = (8 - 6, 4 - (-6), -7 - 8) = (2, 10, -15)
\]

Теперь, чтобы найти угол между векторами \(\overrightarrow{AB}\), мы можем использовать следующую формулу:

\[
\cos(\theta) = \frac{{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}}}{{\|\overrightarrow{AB}\| \cdot \|\overrightarrow{AC}\|}}
\]

где \(\theta\) - искомый угол, \(\overrightarrow{AB}\) - вектор AB, \(\overrightarrow{AC}\) - вектор AC, \(\cdot\) - скалярное произведение векторов, \(\|\overrightarrow{AB}\|\) и \(\|\overrightarrow{AC}\|\) - модули векторов.

Так как мы знаем только вектор \(\overrightarrow{AB}\), мы не сможем найти угол точно. Поэтому предлагаю рассмотреть угол между \(\overrightarrow{AB}\) и координатной осью \(Oz\) (отрицательным направлением):

\[
\cos(\theta) = \frac{{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{Oz}}}{{\|\overrightarrow{AB}\| \cdot \|\overrightarrow{Oz}\|}}
\]

Вектор \(\overrightarrow{Oz}\) имеет координаты (0, 0, -1), так как он смотрит в отрицательном направлении по оси \(Oz\).

Вычисляя скалярное произведение и модули, получаем:

\[
\cos(\theta) = \frac{{(2, 10, -15) \cdot (0, 0, -1)}}{{\sqrt{2^2 + 10^2 + (-15)^2} \cdot \sqrt{0^2 + 0^2 + (-1)^2}}}
\]

Упрощая выражение, получаем:

\[
\cos(\theta) = \frac{{15}}{{\sqrt{449}}}
\]

Используя тригонометрическую функцию арккосинус, найдем значение угла \(\theta\):

\[
\theta = \arccos\left(\frac{{15}}{{\sqrt{449}}}\right)
\]

Округлив значение угла до ближайшего градуса, получаем:

\[
\theta \approx 84.65^{\circ}
\]

Таким образом, угол между векторами AB в пространстве примерно равен 84.65 градусов.