Какой вектор используется для параллельного переноса прямой y=2x-1, чтобы она перешла в прямую 2x+3y и прямая 4x+6y=5?

Paryaschaya_Feya

9

Чтобы перенести прямую \(y = 2x - 1\) в прямую \(2x + 3y\) и прямую \(4x + 6y = 5\), нужно найти вектор, который определяет сдвиг прямой.

1. Начнем с прямой \(y = 2x - 1\) и прямой \(2x + 3y\). Для начала, перепишем уравнение прямой \(y = 2x - 1\) в виде \(2x - y = 1\).

2. Пусть вектор \(\mathbf{v}\) задает сдвиг прямой. Чтобы найти этот вектор, заменим в уравнении прямой \(y = 2x - 1\) переменные \(x\) и \(y\) на \(x + v_x\) и \(y + v_y\) соответственно:

\[2(x + v_x) - (y + v_y) = 1\]

Раскроем скобки:

\[2x + 2v_x - y - v_y = 1\]

3. Теперь сравним полученное уравнение с уравнением \(2x + 3y\) и составим систему уравнений:

\[\begin{cases}
2x + 2v_x - y - v_y = 1 \\
2x + 3y = 0
\end{cases}\]

4. Решим эту систему уравнений, выразив \(v_x\) и \(v_y\):

Из второго уравнения получаем:

\[x = -\frac{3}{2}y\]

Подставим это выражение в первое уравнение:

\[2\left(-\frac{3}{2}y\right) + 2v_x - y - v_y = 1\]

\[-3y + 2v_x - y - v_y = 1\]

\[2v_x - v_y - 4y = 1\]

5. Получившееся уравнение показывает, что вектор сдвига \(\mathbf{v} = \begin{bmatrix}2 \\ -4\end{bmatrix}\). Значит, для переноса прямой \(y = 2x - 1\) в прямые \(2x + 3y\) и \(4x + 6y = 5\), нужно использовать вектор сдвига \(\begin{bmatrix}2 \\ -4\end{bmatrix}\).

Данный вектор задает параллельный перенос, который смещает прямую \(y = 2x - 1\) так, чтобы она стала прямой \(2x + 3y\) и прямой \(4x + 6y = 5\).