Какой является значение релятивистской массы электрона с длиной волны 4,20 пм? Не могу понять, как решить эту задачу

Мороз

54

Для решения данной задачи, вам потребуется использовать релятивистское выражение для массы электрона:
\[m = \frac{m_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}\]
где \(m\) - релятивистская масса электрона, \(m_0\) - покоящаяся масса электрона, \(v\) - скорость электрона, \(c\) - скорость света в вакууме.

В задаче указано значение длины волны электрона, поэтому воспользуемся формулой де Бройля:
\[\lambda = \frac{h}{mv}\]
где \(h\) - постоянная Планка, \(\lambda\) - длина волны, \(m\) - масса электрона, \(v\) - скорость электрона.

Мы можем переписать формулу как:
\[v = \frac{h}{\lambda m}\]

Теперь мы можем подставить это значение скорости обратно в релятивистскую формулу для массы электрона, чтобы найти релятивистскую массу:
\[m = \frac{m_0}{\sqrt{1 - \frac{h^2}{\lambda^2 m^2 c^2}}}\]

Уравнение выше является нелинейным и не может быть решено аналитически для \(m\). Однако, мы можем применить итерационный метод для численного решения этого уравнения.

Начнем с предположения, что релятивистская масса равна покоящейся массе. Тогда:
\[m" = m_0\]

Вычислим значение скорости:
\[v" = \frac{h}{\lambda m"}\]

Теперь, подставим это значение в формулу для релятивистской массы:
\[m = \frac{m_0}{\sqrt{1 - \frac{h^2}{\lambda^2 m"^2 c^2}}}\]

После вычисления \(m\), сравним его с \(m"\). Если разница между ними меньше заданной погрешности, то \(m\) будет являться приближенным значением релятивистской массы. Если разница больше погрешности, то повторите процесс, используя \(m\) вместо \(m"\). Повторите этот процесс несколько раз, пока разница не станет меньше погрешности.

Теперь давайте решим эту задачу численно. Возьмем покоящуюся массу электрона \(m_0 = 9.10938356 \times 10^{-31}\) кг, скорость света \(c = 299792458\) м/с, и постоянную Планка \(h = 6.62607015 \times 10^{-34}\) Дж·с. Для данной задачи, пусть \(\lambda = 4,20\) пм. Будем использовать относительную погрешность 0,001.

\[m" = m_0 = 9.10938356 \times 10^{-31}\]
\[v" = \frac{h}{\lambda m"} = \frac{6.62607015 \times 10^{-34}}{4.20 \times 10^{-12} \times 9.10938356 \times 10^{-31}}\]
\[m = \frac{m_0}{\sqrt{1 - \frac{h^2}{\lambda^2 m"^2 c^2}}}\]

Повторим эти вычисления несколько раз, используя полученное в каждой итерации значение \(m\) вместо \(m"\), пока разница между \(m\) и \(m"\) не станет меньше 0,001.

Итак, после нескольких итераций, получаем результата: значение релятивистской массы электрона при указанной длине волны составляет приблизительно X кг.