Какую емкость должен иметь колебательный контур, чтобы настроить его на частоту 1 МГц, если индуктивность катушки

Belochka

49

Чтобы рассчитать емкость колебательного контура, необходимую для настройки его на заданную частоту 1 МГц, мы можем использовать формулу резонансной частоты. Формула связывает емкость C, индуктивность L и резонансную частоту \(f_{\text{рез}}\) следующим образом:

\[f_{\text{рез}} = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}\]

Где \(f_{\text{рез}}\) - резонансная частота, \(\pi\) - математическая константа "пи" (примерно равная 3,14159), L - индуктивность катушки и C - емкость колебательного контура.

Дано, что индуктивность L равна 0,5 мГн. Подставим данное значение в формулу резонансной частоты и решим уравнение относительно C:

\[1\,000\,000\, \text{Гц} = \frac{1}{2\pi\sqrt{0,5\, \text{мГн}\cdot C}}\]

Для удобства расчетов переведем миллигенри в фарады, учитывая, что 1 мГн = 0,001 Генри, и 1 Ф = 1 Кл/В. Таким образом, получим:

\[1\,000\,000\, \text{Гц} = \frac{1}{2\pi\sqrt{0,5\, \text{мГн}\cdot C}}\]

\[1\,000\,000\, \text{Гц} = \frac{1}{2\pi\sqrt{0,5\, \cdot 0,001\, \text{Кл/В}\cdot C}}\]

\[1\,000\,000\, \text{Гц} = \frac{1}{2\pi\sqrt{0,0005\, \text{Кл/В}\cdot C}}\]

Теперь, чтобы найти емкость C, домножим оба выражения на \(2\pi\) и возведем в квадрат обе стороны уравнения:

\[(2\pi\times1\,000\,000\, \text{Гц})^2 = \frac{1^2}{0,0005\, \text{Кл/В}\cdot C}\]

\[4\pi^2\times10^{12} \text{Гц}^2 = \frac{1}{0,0005\, \text{Кл/В}\cdot C}\]

Далее, чтобы избавиться от дроби в правой части уравнения, можем инвертировать и домножить обе стороны на 0,0005\, \text{Кл/В}:

\[(4\pi^2\times10^{12} \text{Гц}^2)\times(0,0005\, \text{Кл/В}) = \frac{1}{C}\]

\[2\pi^2\times10^{12} \text{Гц}^2 \cdot 0,0005\, \text{Кл/В} = \frac{1}{C}\]

\[C = \frac{1}{2\pi^2\times10^{12} \text{Гц}^2 \cdot 0,0005\, \text{Кл/В}}\]

Теперь, заменим все числа в формуле и рассчитаем значение емкости C:

\[C = \frac{1}{2\pi^2\times10^{12} \times 0,0005}\, \text{Ф}\]

Упрощая вычисления, получаем:

\[C \approx \frac{1}{3,142\times2^2\times10^{12}\times0,0005}\, \text{Ф}\]

\[C \approx \frac{1}{3,142\times4\times10^{12}\times0,0005}\, \text{Ф}\]

\[C \approx \frac{1}{50,27\times10^{12}\times0,0005}\, \text{Ф}\]

\[C \approx \frac{1}{25,135\times10^{12}}\, \text{Ф}\]

\[C \approx 0,0397\times10^{-12}\, \text{Ф}\]

\[C \approx 39,7 \times 10^{-15}\, \text{Ф}\]

Итак, чтобы настроить колебательный контур на частоту 1 МГц с индуктивностью катушки 0,5 мГн, нам потребуется емкость примерно равная 39,7 пикофарадами (39,7 пФ).

Однако, при проведении практической работы, необходимо учесть факторы, которые могут влиять на точность полученного значения и последующую настройку колебательного контура. Некоторые из этих факторов включают в себя влияние сопротивления и ёмкости окружающей среды, качество элементов контура и другие неидеальности в реальном мире. Поэтому всегда важно принимать во внимание эти факторы и выполнять дополнительные расчеты или корректировки при необходимости.