Какую форму имеют уравнения касательной и нормали к графику функции f(x)=тангенс x, когда x равно pi/4 и pi/3?

Лина

54

Для начала, давайте определим, что такое уравнение касательной и нормали к графику функции.

Уравнение касательной к графику функции в заданной точке описывает прямую, которая касается графика в этой точке и имеет с ним одинаковый наклон. Уравнение нормали к графику функции в заданной точке описывает прямую, которая перпендикулярна касательной и проходит через эту точку.

Теперь применим эти понятия к нашей функции f(x) = тангенс x и найдем уравнения касательной и нормали в точках x = \(\frac{\pi}{4}\) и x = \(\frac{\pi}{3}\).

1. Для точки x = \(\frac{\pi}{4}\):
Чтобы найти уравнение касательной, нам понадобится значение производной функции в данной точке. Вычислим производную функции f(x) = тангенс x с помощью правила дифференцирования тангенса:

\[f"(x) = \frac{d}{dx}(\tan x) = \sec^{2} x\]

Теперь, чтобы получить наклон касательной, подставим x = \(\frac{\pi}{4}\) в производную функции:

\[f"(\frac{\pi}{4}) = \sec^{2}(\frac{\pi}{4}) = 2\]

Значит, касательная имеет наклон 2 в точке x = \(\frac{\pi}{4}\).

Теперь нам нужно найти точку, через которую проходит касательная. Подставим x = \(\frac{\pi}{4}\) в исходную функцию:

\[f(\frac{\pi}{4}) = \tan(\frac{\pi}{4}) = 1\]

Значит, касательная проходит через точку (x, y) = (\(\frac{\pi}{4}\), 1).

Таким образом, уравнение касательной в точке x = \(\frac{\pi}{4}\) будет иметь вид:

\[y - 1 = 2(x - \frac{\pi}{4})\]

Для нахождения уравнения нормали в точке x = \(\frac{\pi}{4}\) мы используем тот факт, что нормаль перпендикулярна касательной. Значит, ее наклон будет равен -\(\frac{1}{2}\) (противоположное и обратное значение наклона касательной).

Уравнение нормали имеет вид:

\[y - 1 = -\frac{1}{2}(x - \frac{\pi}{4})\]

2. Для точки x = \(\frac{\pi}{3}\):
Процедура аналогична предыдущей точке.
Вычислим производную функции f(x) = тангенс x в данной точке:

\[f"(\frac{\pi}{3}) = \sec^{2}(\frac{\pi}{3}) = \frac{4}{3}\]

Таким образом, уравнение касательной в точке x = \(\frac{\pi}{3}\) будет иметь вид:

\[y - \sqrt{3} = \frac{4}{3}(x - \frac{\pi}{3})\]

А уравнение нормали в точке x = \(\frac{\pi}{3}\) имеет вид:

\[y - \sqrt{3} = -\frac{3}{4}(x - \frac{\pi}{3})\]

Здесь мы подробно рассмотрели, как получить уравнения касательной и нормали к графику функции f(x) = тангенс x в точках x = \(\frac{\pi}{4}\) и x = \(\frac{\pi}{3}\).