Какую формулу следует использовать для вычисления значения CD в прямоугольном треугольнике ABC, где C – прямой угол

Сумасшедший_Рейнджер

13

Для вычисления значения CD в прямоугольном треугольнике ABC, где C – прямой угол, CD – высота, ∠А = α, AB = b, мы можем использовать формулу CD = b • cos α (вариант 1). Давайте обоснуем этот выбор.

В прямоугольном треугольнике ABC, где C – прямой угол, CD является высотой, опущенной из вершины C на гипотенузу AB.

Формула, которая связывает высоту треугольника, гипотенузу и угол между высотой и гипотенузой, называется теоремой косинусов. Согласно этой теореме, для прямоугольного треугольника мы можем использовать следующее соотношение:

\(CD^2 = AC^2 + AD^2 \)

Так как мы знаем, что прямой угол находится в вершине C, то гипотенузой треугольника является отрезок AB. Также, по условию, мы знаем, что ∠А = α и AB = b. Заменим эти значения в формулу:

\(CD^2 = b^2 + AD^2 \)

Теперь посмотрим на треугольник ACD. Мы знаем, что ∠А = α. Таким образом, ∠ADC также равен α (по свойству противоположных углов). Следовательно, треугольник ACD является прямоугольным, и мы можем использовать теорему косинусов:

\(AD = CD \cdot \cos α \)

Таким образом, мы можем заменить AD в нашей общей формуле:

\(CD^2 = b^2 + (CD \cdot \cos α)^2 \)

Используя алгебраические преобразования, мы можем решить это уравнение и найти CD:

\(CD^2 - (CD \cdot \cos α)^2 = b^2 \)

\(CD^2 (1 - \cos^2 α) = b^2 \)

\(CD^2 \cdot \sin^2 α = b^2 \)

Применяя к обеим сторонам квадратный корень, получаем:

\( CD = b \cdot \sin α \)

Таким образом, мы получаем, что формула для вычисления значения CD в прямоугольном треугольнике ABC, где C – прямой угол, CD – высота, ∠А = α и AB = b, равна CD = b • sin α.

Следовательно, правильный ответ на задачу будет 3) CD = b • sin α.