Какую минимальную длину трубки Серёже нужно взять, чтобы он смог осуществить свой план внутренний объем надутого

Snezhka

12

Для определения минимальной длины трубки, необходимой Сереже для осуществления его плана, мы можем использовать закон Архимеда и принцип сохранения объема.

Итак, предположим, что объем воздушного шара после его надувания равен \(V_1\), а объем воды, которую Сережа заливает в шарик, равен \(V_2\). Также обозначим дополнительное давление, необходимое для надувания шара, как \(P\) (в беккерелях на паскаль).

Согласно закону Архимеда, воздушный шар будет испытывать подъемную силу, равную весу вытесненного им воздуха. Эта сила будет равна разности между давлением воздуха внутри шара (\(P_1\)) и давлением воздуха снаружи (\(P_0\)). Таким образом, подъемная сила равна \(F = (P_1 - P_0) \cdot A\), где \(A\) - площадь поперечного сечения шара.

Так как шар не растягивается под весом воды, то дополнительное давление, необходимое для надувания шара, должно компенсировать давление воды внутри шара. Площадь поперечного сечения трубки, через которую Сережа заливает воду, обозначим как \(S\), а высоту слоя воды в трубке от верхнего конца трубки до уровня воды в шаре - \(h\).

Тогда давление воды внутри шара равно \(P_2 = \rho \cdot g \cdot h\), где \(\rho\) - плотность воды, а \(g\) - ускорение свободного падения. Также, если \(L\) - длина трубки, мы можем выразить \(h\) через \(L\) с помощью теоремы Пифагора: \(h = \sqrt{L^2 - d^2}\), где \(d\) - расстояние между трубкой и центром шара.

С учетом этих соотношений мы можем записать условие равновесия сил:

\((P_1 - P_0) \cdot A = P_2 \cdot S\)

или

\((P_1 - P_0) \cdot A = \rho \cdot g \cdot h \cdot S\)

Так как \(P_1 - P_0 = P\), то выражение можно упростить:

\[P \cdot A = \rho \cdot g \cdot h \cdot S\]

В нашем случае \(A\) равно площади поперечного сечения шара, а \(S\) равно площади поперечного сечения трубки, то есть \(S = \pi \cdot r^2\), где \(r\) - радиус трубки.

Таким образом, уравнение становится:

\[P \cdot A = \rho \cdot g \cdot h \cdot \pi \cdot r^2\]

Чтобы избавиться от \(A\) и \(h\), воспользуемся тем, что объем шара равен сумме объема воздуха внутри шара (\(V_1\)) и объема воды (\(V_2\)), то есть \(V = V_1 + V_2\).

Объем воздуха внутри шара равен \(V_1 = \frac{4}{3} \pi R^3\), где \(R\) - радиус шара.

Объем воды равен \(V_2 = \pi r^2 \cdot \sqrt{L^2 - d^2}\), используя выражение для \(h\), которое мы получили ранее.

Теперь мы можем записать уравнение для объема шара:

\[V = \frac{4}{3} \pi R^3 + \pi r^2 \cdot \sqrt{L^2 - d^2}\]

Мы хотим найти минимальную длину трубки \(L\) при известных значениях \(R\), \(d\) и \(P\) (минимальное дополнительное давление). Для этого мы можем взять производную уравнения по \(L\) и приравнять ее к нулю, чтобы найти точку экстремума.

Производная уравнения равна:

\[\frac{dV}{dL} = \pi r^2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{L^2 - d^2}} \cdot 2L\]

Теперь мы можем приравнять производную к нулю:

\[\frac{dV}{dL} = 0\]

\[\pi r^2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{L^2 - d^2}} \cdot 2L = 0\]

Отсюда получаем:

\[\sqrt{L^2 - d^2} = 0\]

\[\Rightarrow L^2 - d^2 = 0\]

\[\Rightarrow L^2 = d^2\]

\[\Rightarrow L = d\]

Таким образом, минимальная длина трубки, которую необходимо взять Сереже, равна \(d\).

Надеюсь, это решение будет полезным и понятным для школьника! Если остались вопросы, пожалуйста, задавайте.