Какую прибыль/убыток в рублях получит фирма, которая имеет функцию общих издержек TC=20+5Q+Q² и продаёт продукцию

Белка

68

Для решения данной задачи нам необходимо узнать прибыль или убыток фирмы. Для начала, давайте определим функцию доходов фирмы (TR), а затем найдем функцию прибыли (П), используя функцию общих издержек (TC).

Функция доходов (TR) может быть вычислена, умножив цену продукции (P) на количество проданной продукции (Q), поэтому:

\[TR = P \times Q\]

В нашем случае цена продукции (P) равна 25 рублей, поэтому:

\[TR = 25Q\]

Функция прибыли (П) может быть вычислена, вычитая из функции доходов (TR) функцию общих издержек (TC), таким образом:

\[П = TR - TC\]

Теперь, вставим значение функций доходов и общих издержек:

\[П = 25Q - (20 + 5Q + Q^2)\]

Давайте упростим и раскроем скобки:

\[П = 25Q - 20 - 5Q - Q^2\]

\[П = -Q^2 + 20Q - 20\]

Теперь, чтобы найти прибыль или убыток фирмы, мы должны узнать значение количества продукции (Q), при котором функция прибыли (П) будет равна нулю. Другими словами:

\[П = 0\]

Подставим это значение в уравнение прибыли:

\[-Q^2 + 20Q - 20 = 0\]

Теперь решим это квадратное уравнение. Мы можем воспользоваться формулой дискриминанта \(D\):

\[D = b^2 - 4ac\]

где a, b и c - это коэффициенты квадратного уравнения. В данном случае, a = -1, b = 20 и c = -20.

\[D = 20^2 - 4 \times (-1) \times (-20)\]

Рассчитаем значение \(D\):

\[D = 400 - 4 \times (-1) \times (-20)\]

\[D = 400 - 4 \times 20\]

\[D = 400 - 80\]

\[D = 320\]

Теперь найдем значения корней квадратного уравнения, используя формулы:

\[Q = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}\] и \[Q = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a}\]

Найдем первый корень:

\[Q_1 = \frac{-20 + \sqrt{320}}{2 \times (-1)}\]

\[Q_1 = \frac{-20 + \sqrt{320}}{-2}\]

\[Q_1 = \frac{-20 + 8\sqrt{5}}{-2}\]

\[Q_1 = -10 + 4\sqrt{5}\]

Теперь найдем второй корень:

\[Q_2 = \frac{-20 - \sqrt{320}}{2 \times (-1)}\]

\[Q_2 = \frac{-20 - \sqrt{320}}{-2}\]

\[Q_2 = \frac{-20 - 8\sqrt{5}}{-2}\]

\[Q_2 = -10 - 4\sqrt{5}\]

Таким образом, фирма получит прибыль, если количество продукции (Q) будет находиться в пределах от \(Q_1\) до \(Q_2\). Ответ можно записать в виде интервала:

\[Q_1 \leq Q \leq Q_2\]

Для данного уравнения, значение \(Q_1\) равно \(-10 + 4\sqrt{5}\), а значение \(Q_2\) равно \(-10 - 4\sqrt{5}\).

Теперь, чтобы определить точное значение прибыли (П), необходимо подставить значения \(Q_1\) и \(Q_2\) в уравнение доходов (TR) или в уравнение прибыли (П). Например:

Для значения \(Q_1\):

\[П_1 = 25Q_1 - (20 + 5Q_1 + Q_1^2)\]

\[П_1 = 25(-10 + 4\sqrt{5}) - (20 + 5(-10 + 4\sqrt{5}) + (-10 + 4\sqrt{5})^2)\]

\[П_1 = 25(-10 + 4\sqrt{5}) - (20 - 50\sqrt{5} + 20 + 5(-10) + 5 \times 4\sqrt{5} + (-10)^2 + 2 \times (-10) \times 4\sqrt{5} + (4\sqrt{5})^2)\]

\[П_1 = 25(-10 + 4\sqrt{5}) - (20 - 50\sqrt{5} + 20 - 50 + 20\sqrt{5} - 100 + 80\sqrt{5} + 80)\]

\[П_1 = 25(-10 + 4\sqrt{5}) - (124\sqrt{5} - 150)\]

\[П_1 = 25(-10 + 4\sqrt{5}) - 124\sqrt{5} + 150\]

\[П_1 = -250 + 100\sqrt{5} - 124\sqrt{5} + 150\]

\[П_1 = -100\sqrt{5} - 100\]

Точное значение прибыли для \(Q_1\) равно \(-100\sqrt{5} - 100\) рублей.

Аналогичным образом, мы можем найти точное значение прибыли для \(Q_2\) и других значений \(Q\) в заданном интервале.