Какую самую маленькую скорость нужно дать шарику, чтобы он двигался по кругу в вертикальной плоскости на невесомой

Пламенный_Змей

19

Для решения данной задачи, нам нужно использовать законы динамики, а именно центростремительное ускорение и равновесие сил.

Сначала рассмотрим момент, когда шарик движется в верхней точке своего пути (самой высокой точке окружности). В этой точке, сила тяжести направлена вниз, а натяжение нити направлено внутрь по касательной к окружности. Причем, сила тяжести и натяжения нити должны быть равны по модулю.

Следовательно, всего сумма сил должна быть равна нулю:

\[m \cdot a = T - m \cdot g\]

где \(m\) - масса шарика, \(a\) - центростремительное ускорение, \(T\) - натяжение нити, \(g\) - ускорение свободного падения.

Так как радиус окружности равен \(2\) метра, то

\[a = \frac{{v^2}}{{r}} = \frac{{v^2}}{{2}}\]

где \(v\) - скорость шарика.

Подставляя значение \(a\) в уравнение предыдущее, мы получаем:

\[m \cdot \frac{{v^2}}{{2}} = T - m \cdot g\]

Следовательно,

\[T = \frac{{m \cdot v^2}}{{2}} + m \cdot g\]

Теперь рассмотрим момент, когда шарик движется в нижней точке пути (самой низкой точке окружности). В этой точке, сила тяжести направлена вниз, а натяжение нити направлено вверх по касательной к окружности. И снова, сила тяжести и натяжения нити должны быть равны по модулю.

Следовательно, всего сумма сил должна быть равна нулю:

\[m \cdot a = T + m \cdot g\]

Подставляя значение \(a\) и \(T\) из предыдущих выкладок в это уравнение, мы получаем:

\[m \cdot \frac{{v^2}}{{2}} = \frac{{m \cdot v^2}}{{2}} + m \cdot g + m \cdot g\]

Упрощая это уравнение, получаем:

\[v^2 = 4 \cdot g \cdot r\]

Подставляя изначальное значение радиуса, мы получаем:

\[v^2 = 4 \cdot 9.8 \cdot 2\]

Отсюда находим значение скорости:

\[v = \sqrt{{4 \cdot 9.8 \cdot 2}} \approx \sqrt{{78.4}}\approx 8.85 \, \text{м/с}\]

Таким образом, чтобы шарик двигался по кругу в вертикальной плоскости на невесомой и нерастяжимой нити длиной 2 метра, нужно дать ему минимальную скорость, равную примерно 8.84 м/с.

Ниже представлена схема, поясняющая решение задачи:

\[
\begin{array}{c}
| \\
| \\
|--- T \\
| \\
|--- F_{\text {тяж }}=m g \\
|\text { (нижняя точка) } \\
| \\
|-- T \\
| \\
|--- F_{\text {тяж }}=m g \\
|\text { (верхняя точка) } \\
| \\
|-------------------\\
\text { Окружность}
\end{array}
\]