Какую сумму двух натуральных чисел можно получить, если первое число кратно б, второе число кратно 15, а сумма этих

Rys_7972

65

Чтобы решить данную задачу, мы должны воспользоваться системой уравнений. Для начала, предположим, что первое число равно \(a\), а второе число равно \(b\). Также, согласно условию задачи, первое число кратно \(b\), второе число кратно 15, а сумма этих чисел кратна 14.

Условие "первое число кратно \(b\)" можно записать следующим образом: \(a = kb\), где \(k\) - некоторое натуральное число.

Условие "второе число кратно 15" записывается так: \(b = 15m\), где \(m\) - ещё одно натуральное число.

И условие "сумма этих чисел кратна 14" можно записать так: \(a + b = 14n\), где \(n\) - также натуральное число.

Мы можем заменить значения \(a\) и \(b\) в последнем уравнении, используя значения, полученные из первых двух уравнений:

\(kb + 15m = 14n\)

Теперь давайте преобразуем это уравнение, чтобы найти минимально возможную сумму \(a + b\).

Мы знаем, что \(b = 15m\), так что давайте подставим это значение в уравнение:

\(k \cdot 15m + 15m = 14n\)

Упростим это уравнение:

\(15m(k + 1) = 14n\)

Это уравнение говорит нам, что произведение \(15m\) должно быть кратно 14. Найдём наименьшее значение \(m\), при котором это выполняется.

Наименьшее общее кратное чисел 15 и 14 равно \(30\). Таким образом, наименьшее значение \(m\) равно 2. Это означает, что \(15m = 30\).

Подставим \(m = 2\) в уравнение и найдем значение \(k\):

\(15 \cdot 2 \cdot (k + 1) = 14n\) \\
\(30(k + 1) = 14n\) \\
\(15(k + 1) = 7n\)

И теперь найдем минимальное значение \(k\), для которого это уравнение выполняется. Наименьшее общее кратное чисел 15 и 7 равно 105. То есть, наименьшее значение \(k\) равно \(105 - 1 = 104\).

Теперь мы можем вычислить минимально возможную сумму \(a + b\):

\(a + b = kb + 15m\) \\
\(= 104 \cdot 15 \cdot 2 + 15 \cdot 2\) \\
\(= 30(208 + 2)\) \\
\(= 30 \cdot 210\) \\
\(= 6300\)

Итак, минимально возможная сумма двух натуральных чисел, удовлетворяющих всем условиям задачи, равна 6300.