Какую сумму образуют числа, которые кратны 3 и удовлетворяют неравенству

Zvezdnyy_Lis

33

Чтобы найти сумму чисел, которые кратны 3 и удовлетворяют неравенству \(67 < x \leq 100\), мы можем использовать арифметическую прогрессию. Сначала найдем количество чисел, удовлетворяющих этому условию.

Мы знаем, что кратные 3 числа образуют арифметическую прогрессию с первым членом 3, вторым членом 6, третьим членом 9 и так далее. Чтобы найти количество чисел в этой прогрессии, мы можем использовать формулу для суммы арифметической прогрессии.

Формула для суммы арифметической прогрессии:
\[S = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)\]
где \(S\) - сумма прогрессии, \(n\) - количество членов в прогрессии, \(a_1\) - первый член прогрессии, \(a_n\) - последний член прогрессии.

Нам нужно найти сумму чисел от 69 до 99, так как это числа, кратные 3 и больше 67. Подставим значения в формулу:
\[69 + 72 + 75 + \ldots + 99 = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)\]

Теперь определим другие значения, необходимые для решения задачи. Первый член прогрессии \(a_1 = 69\), последний член прогрессии \(a_n = 99\). Нам нужно найти значение \(n\), количество чисел в прогрессии.

Мы знаем, что каждое следующее число в прогрессии больше предыдущего на 3, поэтому разница между \(a_1\) и \(a_n\) равна \(3 \cdot (n - 1)\). Подставляем значения и находим \(n\):
\[99 - 69 = 3 \cdot (n - 1)\]
\[30 = 3n - 3\]
\[3n = 33\]
\[n = 11\]

Теперь у нас есть количество чисел в прогрессии \(n = 11\). Подставим значения в формулу для суммы арифметической прогрессии:
\[S = \frac{11}{2}(69 + 99)\]
\[S = \frac{11}{2}(168)\]
\[S = 924\]

Сумма чисел, которые кратны 3 и удовлетворяют неравенству \(67 < x \leq 100\), равна 924.