Каждой переменной в заданном выражении (x → y) / (x / ¬z) / (x ≡ ¬w) соответствует столбец таблицы истинности

Raduga

37

Для начала, давайте разберемся с выражением "(x → y) /\ (x \/ ¬z) /\ (x ≡ ¬w)".

В выражении используются следующие символы и операции:
- x, y, z, w: переменные
- → : импликация (логическое следование)
- \/ : дизъюнкция (логическое ИЛИ)
- ¬ : отрицание (логическое НЕ)
- ≡ : эквивалентность (логическое равно)

Таблица истинности позволяет нам определить значения переменных при различных комбинациях их значений. Для данного выражения мы имеем 4 переменные (x, y, z, w), поэтому нам нужно рассмотреть все возможные комбинации значений этих переменных.

Так как у нас 4 переменные, то в таблице истинности будет 2^4 = 16 строк. Каждая строка таблицы соответствует одной комбинации значений переменных.

Давайте составим таблицу истинности для нашего выражения:

\[
\begin{array}{cccc|c}
x & y & z & w & (x \to y) \land (x \lor \neg z) \land (x \equiv \neg w) \\
\hline
0 & 0 & 0 & 0 & ? \\
0 & 0 & 0 & 1 & ? \\
0 & 0 & 1 & 0 & ? \\
0 & 0 & 1 & 1 & ? \\
0 & 1 & 0 & 0 & ? \\
0 & 1 & 0 & 1 & ? \\
0 & 1 & 1 & 0 & ? \\
0 & 1 & 1 & 1 & ? \\
1 & 0 & 0 & 0 & ? \\
1 & 0 & 0 & 1 & ? \\
1 & 0 & 1 & 0 & ? \\
1 & 0 & 1 & 1 & ? \\
1 & 1 & 0 & 0 & ? \\
1 & 1 & 0 & 1 & ? \\
1 & 1 & 1 & 0 & ? \\
1 & 1 & 1 & 1 & ? \\
\end{array}
\]

Теперь давайте заполним столбец таблицы для каждой переменной в выражении.

Для переменной x:
\[
\begin{array}{cccc|c}
x & y & z & w & (x \to y) \land (x \lor \neg z) \land (x \equiv \neg w) \\
\hline
0 & 0 & 0 & 0 & ? \\
0 & 0 & 0 & 1 & ? \\
0 & 0 & 1 & 0 & ? \\
0 & 0 & 1 & 1 & ? \\
0 & 1 & 0 & 0 & ? \\
0 & 1 & 0 & 1 & ? \\
0 & 1 & 1 & 0 & ? \\
0 & 1 & 1 & 1 & ? \\
1 & 0 & 0 & 0 & ? \\
1 & 0 & 0 & 1 & ? \\
1 & 0 & 1 & 0 & ? \\
1 & 0 & 1 & 1 & ? \\
1 & 1 & 0 & 0 & ? \\
1 & 1 & 0 & 1 & ? \\
1 & 1 & 1 & 0 & ? \\
1 & 1 & 1 & 1 & ? \\
\end{array}
\]

Для каждой строки таблицы мы будем заполнять по порядку значения для каждой переменной.

Теперь заполним столбец для переменной x. В первой половине строк таблицы значение переменной x будет 0, а во второй половине - 1.

\[
\begin{array}{cccc|c}
x & y & z & w & (x \to y) \land (x \lor \neg z) \land (x \equiv \neg w) \\
\hline
0 & 0 & 0 & 0 & ? \\
0 & 0 & 0 & 1 & ? \\
0 & 0 & 1 & 0 & ? \\
0 & 0 & 1 & 1 & ? \\
0 & 1 & 0 & 0 & ? \\
0 & 1 & 0 & 1 & ? \\
0 & 1 & 1 & 0 & ? \\
0 & 1 & 1 & 1 & ? \\
1 & 0 & 0 & 0 & ? \\
1 & 0 & 0 & 1 & ? \\
1 & 0 & 1 & 0 & ? \\
1 & 0 & 1 & 1 & ? \\
1 & 1 & 0 & 0 & ? \\
1 & 1 & 0 & 1 & ? \\
1 & 1 & 1 & 0 & ? \\
1 & 1 & 1 & 1 & ? \\
\end{array}
\]

Давайте продолжим и заполним столбцы для остальных переменных (y, z, w).

\[
\begin{array}{cccc|c}
x & y & z & w & (x \to y) \land (x \lor \neg z) \land (x \equiv \neg w) \\
\hline
0 & 0 & 0 & 0 & ? \\
0 & 0 & 0 & 1 & ? \\
0 & 0 & 1 & 0 & ? \\
0 & 0 & 1 & 1 & ? \\
0 & 1 & 0 & 0 & ? \\
0 & 1 & 0 & 1 & ? \\
0 & 1 & 1 & 0 & ? \\
0 & 1 & 1 & 1 & ? \\
1 & 0 & 0 & 0 & ? \\
1 & 0 & 0 & 1 & ? \\
1 & 0 & 1 & 0 & ? \\
1 & 0 & 1 & 1 & ? \\
1 & 1 & 0 & 0 & ? \\
1 & 1 & 0 & 1 & ? \\
1 & 1 & 1 & 0 & ? \\
1 & 1 & 1 & 1 & ? \\
\end{array}
\]

Используя логические операции и значения переменных, давайте пошагово рассмотрим решение для каждого столбца:

Столбец для переменной x:
- В первой половине строк таблицы значение переменной x будет 0.
- Во второй половине строк таблицы значение переменной x будет 1.

\[
\begin{array}{cccc|c}
x & y & z & w & (x \to y) \land (x \lor \neg z) \land (x \equiv \neg w) \\
\hline
0 & 0 & 0 & 0 & ? \\
0 & 0 & 0 & 1 & ? \\
0 & 0 & 1 & 0 & ? \\
0 & 0 & 1 & 1 & ? \\
0 & 1 & 0 & 0 & ? \\
0 & 1 & 0 & 1 & ? \\
0 & 1 & 1 & 0 & ? \\
0 & 1 & 1 & 1 & ? \\
1 & 0 & 0 & 0 & ? \\
1 & 0 & 0 & 1 & ? \\
1 & 0 & 1 & 0 & ? \\
1 & 0 & 1 & 1 & ? \\
1 & 1 & 0 & 0 & ? \\
1 & 1 & 0 & 1 & ? \\
1 & 1 & 1 & 0 & ? \\
1 & 1 & 1 & 1 & ? \\
\end{array}
\]

Столбец для переменной y:
- В первой половине строк таблицы значение переменной y будет 0.
- Во второй половине строк таблицы значение переменной y будет 1.

\[
\begin{array}{cccc|c}
x & y & z & w & (x \to y) \land (x \lor \neg z) \land (x \equiv \neg w) \\
\hline
0 & 0 & 0 & 0 & ? \\
0 & 0 & 0 & 1 & ? \\
0 & 0 & 1 & 0 & ? \\
0 & 0 & 1 & 1 & ? \\
0 & 1 & 0 & 0 & ? \\
0 & 1 & 0 & 1 & ? \\
0 & 1 & 1 & 0 & ? \\
0 & 1 & 1 & 1 & ? \\
1 & 0 & 0 & 0 & ? \\
1 & 0 & 0 & 1 & ? \\
1 & 0 & 1 & 0 & ? \\
1 & 0 & 1 & 1 & ? \\
1 & 1 & 0 & 0 & ? \\
1 & 1 & 0 & 1 & ? \\
1 & 1 & 1 & 0 & ? \\
1 & 1 & 1 & 1 & ? \\
\end{array}
\]

Столбец для переменной z:
- В первой четверти строк таблицы значение переменной z будет 0.
- Во второй четверти строк таблицы значение переменной z будет 1.
- В третьей четверти строк таблицы значение переменной z будет 0.
- В четвертой четверти строк таблицы значение переменной z будет 1.

\[
\begin{array}{cccc|c}
x & y & z & w & (x \to y) \land (x \lor \neg z) \land (x \equiv \neg w) \\
\hline
0 & 0 & 0 & 0 & ? \\
0 & 0 & 0