Куда и на какое расстояние отплывет лодка, когда человек массой 70 кг переместится с кормы на нос? У лодки массой

Markiz

32

Чтобы решить данную задачу, нам понадобятся некоторые физические принципы. Первым шагом мы можем использовать закон сохранения импульса.

Закон сохранения импульса гласит, что сумма импульсов системы остается неизменной, если на нее не действуют внешние силы. В нашем случае, человек будет действовать на лодку, создавая импульс в одну сторону, а лодка будет действовать на человека, создавая импульс в противоположную сторону.

Примем за \(v_1\) скорость лодки (по модулю) до передвижения человека и за \(v_2\) скорость лодки (по модулю) после передвижения человека. Также пусть \(m_1\) будет масса человека, а \(m_2\) - масса лодки.

Из закона сохранения импульса получаем:

\[m_1 \cdot v_1 + m_2 \cdot 0 = m_1 \cdot v_2 + m_2 \cdot v_{\text{л}},\]

где \(v_{\text{л}}\) - скорость лодки относительно воды после передвижения человека.

Теперь рассмотрим закон сохранения момента импульса. Момент импульса - это произведение массы на скорость на расстояние от оси вращения. В нашем случае осью вращения будет являться центр масс системы "человек - лодка". По закону сохранения момента импульса, момент импульса до передвижения человека должен быть равен моменту импульса после передвижения человека.

Момент импульса до передвижения человека: \(m_1 \cdot v_1 \cdot L_1\), где \(L_1\) - расстояние от оси вращения до центра масс человека.

Момент импульса после передвижения человека: \((m_1 \cdot v_2) \cdot L_2\), где \(L_2\) - расстояние от оси вращения до центра масс лодки.

Получаем:

\[L_1 \cdot m_1 \cdot v_1 = L_2 \cdot m_1 \cdot v_2 + L_2 \cdot m_2 \cdot v_{\text{л}}.\]

Задано, что \(m_2 = 130 \, \text{кг}\), \(m_1 = 70 \, \text{кг}\) и \(v_1 = 0\) (так как лодка неподвижна до передвижения человека). Также задано, что \(L_1 = L_2 = L\) (так как центры масс у человека и лодки находятся на одинаковом расстоянии от оси вращения).

Подставив эти значения в уравнение, получаем:

\[L \cdot 0 = L \cdot 70 \cdot v_2 + L \cdot 130 \cdot v_{\text{л}}.\]

Так как умножение на ноль дает ноль, то можем упростить уравнение:

\[0 = 70 \cdot v_2 + 130 \cdot v_{\text{л}}.\]

Теперь нам нужно выразить \(v_2\) и \(v_{\text{л}}\).

Масса системы человек-лодка после передвижения будет равна сумме масс человека и лодки: \(m = m_1 + m_2 = 70 + 130 = 200 \, \text{кг}\).

Так как лодка с человеком будет двигаться как одно целое, то \(v_2\) будет равно скорости системы после передвижения.

Имеем уравнение:

\[0 = 70 \cdot v_2 + 130 \cdot v_{\text{л}}.\]

Поскольку лодка вращается вокруг своей оси (центра масс), расстояние \(L\) можно записать в виде произведения длины лодки на синус угла отклонения:

\[L = L_{\text{л}} \cdot \sin(\theta),\]

где \(L_{\text{л}}\) - длина лодки, \(\theta\) - угол отклонения в радианах.

Подставим это в уравнение:

\[0 = 70 \cdot v_2 + 130 \cdot L_{\text{л}} \cdot \sin(\theta) \cdot v_{\text{л}}.\]

Теперь осталось выразить \(v_{\text{л}}\).

Закон сохранения энергии гласит, что полная механическая энергия замкнутой системы остается неизменной, если на нее не действуют внешние силы. В нашем случае, можно сказать, что человек перемещается с кормы лодки на нос без действия встречных сил, а значит, энергия лодки-человека до передвижения должна быть равной энергии после передвижения.

Энергия до передвижения: \(\frac{1}{2} m_1 v_1^2 + \frac{1}{2} m_2 \cdot 0^2 = \frac{1}{2} m_1 v_1^2\),

где \(\frac{1}{2} m_1 v_1^2\) - кинетическая энергия человека перед переходом, \(\frac{1}{2} m_2 \cdot 0^2 = 0\) - кинетическая энергия лодки перед переходом.

Энергия после передвижения: \(\frac{1}{2} m_1 v_2^2 + \frac{1}{2} m_2 v_{\text{л}}^2 + \frac{1}{2} I_{\text{л}} \omega_{\text{л}}^2\),

где \(\frac{1}{2} m_1 v_2^2\) - кинетическая энергия человека после перехода, \(\frac{1}{2} m_2 v_{\text{л}}^2\) - кинетическая энергия лодки после перехода, \(\frac{1}{2} I_{\text{л}} \omega_{\text{л}}^2\) - кинетическая энергия поворота лодки.

Момент инерции лодки вокруг ее оси можно выразить как \(I_{\text{л}} = \frac{1}{3} m_2 L_{\text{л}}^2\), где \(L_{\text{л}}\) - длина лодки.

Подставим полученные значения в уравнение:

\[\frac{1}{2} m_1 v_1^2 = \frac{1}{2} m_1 v_2^2 + \frac{1}{2} m_2 v_{\text{л}}^2 + \frac{1}{2} \left(\frac{1}{3} m_2 L_{\text{л}}^2\right) \omega_{\text{л}}^2.\]

Учитывая, что \(v_1 = 0\) и \(\omega_{\text{л}} = \frac{v_{\text{л}}}{L_{\text{л}}}\), получаем:

\[0 = \frac{1}{2} m_1 v_2^2 + \frac{1}{2} m_2 v_{\text{л}}^2 + \frac{1}{2} \left(\frac{1}{3} m_2 L_{\text{л}}^2\right) \left(\frac{v_{\text{л}}}{L_{\text{л}}}\right)^2.\]

Сокращаем уравнение на \(\frac{1}{2}\):

\[0 = m_1 v_2^2 + m_2 v_{\text{л}}^2 + \frac{1}{3} m_2 \left(\frac{v_{\text{л}}}{L_{\text{л}}}\right)^2.\]

Теперь у нас есть два уравнения:

\[0 = 70 \cdot v_2 + 130 \cdot L \cdot \sin(\theta) \cdot v_{\text{л}},\]
\[0 = m_1 v_2^2 + m_2 v_{\text{л}}^2 + \frac{1}{3} m_2 \left(\frac{v_{\text{л}}}{L_{\text{л}}}\right)^2.\]

Мы можем решить систему уравнений относительно \(v_2\) и \(v_{\text{л}}\). Для этого сначала из первого уравнения выразим \(v_2\) через \(v_{\text{л}}\):

\[v_2 = -\frac{130 \cdot L \cdot \sin(\theta) \cdot v_{\text{л}}}{70}.\]

Подставим полученное значение \(v_2\) во второе уравнение:

\[0 = m_1 \left(-\frac{130 \cdot L \cdot \sin(\theta) \cdot v_{\text{л}}}{70}\right)^2 + m_2 v_{\text{л}}^2 + \frac{1}{3} m_2 \left(\frac{v_{\text{л}}}{L_{\text{л}}}\right)^2.\]

Раскроем скобки и упростим выражение, сгруппировав переменные:

\[0 = \left(\frac{130^2 \cdot L^2 \cdot \sin^2(\theta)}{70^2} + \frac{1}{3} \left(\frac{1}{L_{\text{л}}^2}\right)\right) \cdot m_2 v_{\text{л}}^2 + m_1 \cdot \left(\frac{130 \cdot L \cdot \sin(\theta)}{70}\right)^2.\]

Теперь мы имеем квадратное уравнение относительно \(v_{\text{л}}^2\).

Чтобы решить это квадратное уравнение, вычислим его дискриминант:

\[D = \left(\frac{130^2 \cdot L^2 \cdot \sin^2(\theta)}{70^2} + \frac{1}{3} \left(\frac{1}{L_{\text{л}}^2}\right)\right) \cdot m_2^2 - 4 \cdot m_1 \cdot \left(\frac{130 \cdot L \cdot \sin(\theta)}{70}\right)^2.\]

Если дискриминант \(D\) больше или равен нулю, то уравнение имеет реальные корни, иначе уравнение не имеет решений.

Получившиеся значения \(v_{\text{л}}\) можно использовать, чтобы найти расстояние, на которое отплывет лодка. Расстояние можно найти, умножив скорость лодки \(v_{\text{л}}\) на время, за которое человек переместится с кормы на нос. Расстояние можно выразить как \(s = v_{\text{л}} \cdot t\), где \(t\) - время, за которое человек переместится с кормы на нос.

Таким образом, мы можем рассчитать, куда и на какое расстояние отплывет лодка, используя физические принципы и полученные уравнения. Однако, для полного решения задачи необходимо знать значения длины лодки \(L_{\text{л}}\), угла отклонения \(\theta\) и время перемещения человека \(t\).