МІНІМ 14. У вас есть параллелепипед ABCDA1B1C1D1 с квадратными основаниями ABCD и A1B1C1D1. Отрезок, соединяющий

Letuchiy_Fotograf_560

23

Добро пожаловать! Давайте рассмотрим задачу по порядку.

а) Доказательство перпендикулярности прямых CC1 и BD:

1. Возьмем отрезок CC1 и рассмотрим треугольник CC1A1.

2. Так как отрезок, соединяющий вершину С и центр основания A1B1C1D1, перпендикулярен основаниям, то отрезок СС1 будет высотой треугольника CC1A1.

3. Также обратим внимание, что в квадрате ABCD все стороны равны между собой, и то же самое верно для квадрата A1B1C1D1.

4. Из пункта (3) следует, что треугольник ABC и треугольник A1B1C1 будут подобными (по сторонам и углам).

5. Из пункта (4) следует, что углы при основании ABC (т.е. углы BAC и BCA) равны углам при основании A1B1C1 (т.е. углам B1A1C1 и B1C1A1).

6. Так как вершина С лежит в этих треугольниках и у них соответствующие углы равны, то угол C в треугольнике CC1A1 будет равен углу C1 в треугольнике CC1A1.

7. По свойству высоты треугольника, высота, проведенная из вершины треугольника, делит основание пополам.

8. Из пункта (7) следует, что отрезок СС1 делит BC и B1C1 пополам.

9. Заметим, что отрезок BD является диагональю квадрата ABCD, поэтому он делит противоположные стороны пополам.

10. Таким образом, отрезки СС1 и BD делят соответствующие стороны параллелограмма ABCDA1B1C1D1 пополам и они будут перпендикулярны.

б) Теперь рассмотрим вторую часть задачи.

1. Известно, что сторона основания параллелепипеда равна 6, а боковое ребро равно \(\sqrt{34}\).

2. Расстояние между прямыми A1C можно найти с помощью формулы для расстояния между параллельными плоскостями:

\[
\text{{Расстояние}} = \frac{{\left| C_2 - C_1 \right|}}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}
\]

где \(\left| C_2 - C_1 \right|\) - расстояние между точками C1 и C2, а A, B, C - коэффициенты уравнения плоскости, проходящей через прямую A1C.

3. Найдем первоначальные координаты точек C1 и C2.

Поскольку основание A1B1C1D1 - квадрат, а боковое ребро параллелепипеда равно \(\sqrt{34}\), то можно сказать, что сторона квадрата ABCD также равна \(\sqrt{34}\).

Таким образом, координаты точки C1 будут \((\frac{\sqrt{34}}{2}, \frac{\sqrt{34}}{2}, 0)\), а точки C2 - \((6 - \frac{\sqrt{34}}{2}, \frac{\sqrt{34}}{2}, 0)\).

4. Вычислим разницу между точками С1 и С2: \(\left| C_2 - C_1 \right| = \sqrt{(6 - \frac{\sqrt{34}}{2} - \frac{\sqrt{34}}{2})^2 + (\frac{\sqrt{34}}{2} - \frac{\sqrt{34}}{2})^2 + 0^2} = \sqrt{(6 - \sqrt{34})^2} = 6 - \sqrt{34}\).

5. Расстояние между прямыми A1C1 можно найти, используя уравнение плоскости, проходящей через прямую A1C1. Для этого нам понадобятся коэффициенты уравнения плоскости и точка, лежащая на этой прямой.

Так как вектор, параллельный прямой A1C1, будет коэффициентами уравнения плоскости, можно взять этот вектор и одну из точек на прямой A1C1.

Рассмотрим вектор \(\overrightarrow{A1C1}\). Он может быть найден из вычитания координат точек A1 и C1: \((6 - \frac{\sqrt{34}}{2} - 0, 0 - \frac{\sqrt{34}}{2} - 0, \frac{\sqrt{34}}{2} - 0) = (\frac{\sqrt{34}}{2}, -\frac{\sqrt{34}}{2}, \frac{\sqrt{34}}{2})\).

Теперь, учитывая точку A1 (0, 0, 0) и вектор \(\overrightarrow{A1C1}\), можно записать уравнение плоскости:

\(\frac{\sqrt{34}}{2} \cdot x - \frac{\sqrt{34}}{2} \cdot y + \frac{\sqrt{34}}{2} \cdot z = 0\).

6. Теперь вычислим расстояние между прямыми A1C1, используя формулу:

\[
\text{{Расстояние}} = \frac{{\left| C_2 - C_1 \right|}}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}
\]

Подставляя значения \(\left| C_2 - C_1 \right|\) (\(6 - \sqrt{34}\)) и коэффициенты A, B, C, получаем:

\[
\text{{Расстояние}} = \frac{{6 - \sqrt{34}}}{{\sqrt{\left(\frac{\sqrt{34}}{2}\right)^2 + \left(-\frac{\sqrt{34}}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{34}}{2}\right)^2}}}
\]

Выполняя вычисления, получим окончательный ответ.

Пожалуйста, простите за некоторую сложность в объяснении. Если у вас возникнут вопросы - не стесняйтесь задавать!